Autor Tema: Grupo aditivo y denso en R

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21 Enero, 2021, 08:49 pm
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Deza

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Sea \( G_+ \) el conjunto de elementos positivos del grupo aditivo no vacío \( G \). Donde \( G \) es un subconjunto de números reales y diferente de \( \{0\} \).
1.   Demuestre que, si   \( infimo(G_+)=0 \), entonces \( G \) es denso en \( \Bbb R \).
2.   Demuestre que, si \( infimo(G_+)=a>0 \), entonces \( a\in G_+ \) y \( G=\{ka|k\in \Bbb Z\}. \)
3.   Concluya que si \( t \) en \( \Bbb R \) es irracional, entonces el conjunto de números de la forma \( m + nt, \) con \( m \)  y \( n \) enteros es denso en \( \Bbb R \).
4.   Demuestre que si \( t\in \Bbb R \) es irracional, entonces el conjunto de números de la forma \( m + nt \), con entero \( m \) y \( n \) natural es denso en .

Perdón por los errores, no hablo español.

Mensaje corregido desde la administración.

21 Enero, 2021, 09:12 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Este problema está íntimamente relacionado con estos otros:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=5985.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=4831.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102818

Saludos.

P.D. Si tengo un rato y no te han contestado antes amplio la respuesta.

22 Enero, 2021, 12:03 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Antes de nada, que me olvidé ayer...

 Deza: Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Sea \( G_+ \) el conjunto de elementos positivos del grupo aditivo no vacío \( G \). Donde \( G \) es un subconjunto de números reales y diferente de \( \{0\} \).
1.   Demuestre que, si   \( infimo(G_+)=0 \), entonces \( G \) es denso en \( \Bbb R \).

 Idea: Para ver que es denso tienes que probar que cualquier abierto \( (a,b) \) corta a \( G \). Si \( infimo(G_+)=0 \) entonces existe un \( g<\in G^+ \) tal que \( 0<g<b-a \), comprueba que necesariamente \( ng\in (a,b) \) para algún entero \( n \).

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2.   Demuestre que, si \( infimo(G_+)=a>0 \), entonces \( a\in G_+ \) y \( G=\{ka|k\in \Bbb Z\}. \)

 Idea. Si \( a\not\in G_+ \) por ser el ínfimo existen \( g,g'\in G \) tal es que \( a<g,g'<2a \). Pero entonces\(  a>g-g'\in G \), lo cuál contradice la condición de ínfimo.

 Ahora que \( H=\{ka|k\in \Bbb Z\}\subset G \) es inmediato. Por otra parte si existiese \( g\in G \), tal que \( g\not\in H  \) comprueba que existe \( k_0a\in H \) tal que \( |g-k_0a|<a \) lo cuál de nuevo contradice la condición de ínfimo.

Citar
3.   Concluya que si \( t \) en \( \Bbb R \) es irracional, entonces el conjunto de números de la forma \( m + nt, \) con \( m \)  y \( n \) enteros es denso en \( \Bbb R \).

 Comprueba que para el grupo indicado el ínfimo de su parte positiva \( a \) tiene que ser cero y aplica (1).

Spoiler
En caso contrario por (2), \( a=m_0+n_0t \) y todo elemento del grupo es de la forma \( ka \). En particular \( 1=km_0+kn_0t \). Concluye que \( t \) sería racional.
[cerrar]

Saludos.

22 Enero, 2021, 01:07 pm
Respuesta #3

Deza

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