Autor Tema: Ecuaciones exponenciales y W de Lambert

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21 Enero, 2021, 01:45 am
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Blancoynegrofil

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Estimados soy nuevo resolviendo ecuaciones exponenciales usando la función \( W \) de Lambert me he tropezado con un desafío que aparenta ser de fácil solución pero llevo 10 planas con intentos dos semanas de trabajo y nada. Pido a la persona entendida que me pueda ayudar lo siguiente:                               
1.- Que detalle todos los pasos hasta llegar al resultado.
2.- Si el sistema tiene dos soluciones como puedo modificar el artilugio algebraico final para obtener el otro valor.
LA ECUACIÓN ES LA SIGUIENTE:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=x+1 \)

Mis mejores intentos para dar con la solución son los siguientes:

\( xe^x=x^{e+2}+x^{e+1} \)

\( (-x-1)e^{-x-1}=-e^{-1}x^{-e} \)

21 Enero, 2021, 09:14 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Estimados soy nuevo resolviendo ecuaciones exponenciales usando la función \( W \) de Lambert me he tropezado con un desafío que aparenta ser de fácil solución pero llevo 10 planas con intentos dos semanas de trabajo y nada. Pido a la persona entendida que me pueda ayudar lo siguiente:                               
1.- Que detalle todos los pasos hasta llegar al resultado.
2.- Si el sistema tiene dos soluciones como puedo modificar el artilugio algebraico final para obtener el otro valor.
LA ECUACIÓN ES LA SIGUIENTE:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=x+1 \)

Mis mejores intentos para dar con la solución son los siguientes:

\( xe^x=x^{e+2}+x^{e+1} \)

\( (-x-1)e^{-x-1}=-e^{-1}x^{-e} \)

 Pues en principio no lo veo muy claro tampoco. ¿Estás seguro de qué puede resolverse explícitamente con la función W de Lambert?¿En qué contexto te surge este problema?.

Saludos.

21 Enero, 2021, 06:59 pm
Respuesta #2

ancape

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Estimados soy nuevo resolviendo ecuaciones exponenciales usando la función \( W \) de Lambert me he tropezado con un desafío que aparenta ser de fácil solución pero llevo 10 planas con intentos dos semanas de trabajo y nada. Pido a la persona entendida que me pueda ayudar lo siguiente:                               
1.- Que detalle todos los pasos hasta llegar al resultado.
2.- Si el sistema tiene dos soluciones como puedo modificar el artilugio algebraico final para obtener el otro valor.
LA ECUACIÓN ES LA SIGUIENTE:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=x+1 \)

Mis mejores intentos para dar con la solución son los siguientes:

\( xe^x=x^{e+2}+x^{e+1} \)

\( (-x-1)e^{-x-1}=-e^{-1}x^{-e} \)

Normalmente, cuando se tiene una ecuación exponencial, se resuelve tomando logaritmos para deshacer la exponencial. En este caso, si tomamos logaritmos obtenemos la ecuación \( e*x=\displaystyle\frac{log(x+1)}{log(x)} \) que evidentemente tiene la solución x=0. La otra solución es x=1.26817 pero la he obtenido por métodos numéricos. Sigo pensando para ver si la obtengo por métodos analíticos.

Saludos

21 Enero, 2021, 07:15 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Normalmente, cuando se tiene una ecuación exponencial, se resuelve tomando logaritmos para deshacer la exponencial. En este caso, si tomamos logaritmos obtenemos la ecuación \( e*x=\displaystyle\frac{log(x+1)}{log(x)} \) que evidentemente tiene la solución x=0. La otra solución es x=1.26817 pero la he obtenido por métodos numéricos. Sigo pensando para ver si la obtengo por métodos analíticos.

No se muy bien si ha habido una errata por en medio; pero esa ecuación no corresponde a la original. Y tampoco \( x=0  \) es solución a la que has puesto, porque \( log(0) \) no está definido.

La ecuación original es:

\( \dfrac{e^x}{x^e}=x+1 \)

Tiene dos soluciones (obtenidas numéricamente):

\( x_1=1.15253005804048 \)
\( x_2=7.72240526160407 \)

Blancoynegrofil preguntaba si pueden calcularse explícitamente usando la función auxiliar W de Lambert que cumple:

\( xe^x=z\quad \Leftrightarrow{}\quad x=W(z)  \)

Saludos.

21 Enero, 2021, 07:58 pm
Respuesta #4

Blancoynegrofil

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Se supone que para poder aplicar la función de Lambert debemos agrupar las variables incógnitas simbolizadas con la letra "x" a la izquierda y las variables numéricas o constantes numéricas a la derecha de la igualdad en un intento por llegar a la solución muestro esas dos ecuaciones que no son mas que un trabajo algebraico que deriva de la ecuación principal.

Si la ecuación principal fuera igualada a un numero el resultado quedaría así:

\(  \displaystyle\frac{e^x}{x^e}=5 \)

\(  x=-w[\displaystyle\frac{-5^{-1/e}}{e}]*e  \)

lo cual que por analogía simple podría quedar así :

\(  x=-w[\displaystyle\frac{-(x+1)^{-1/e}}{e}]*e  \)

Pero pasa que si calculas la w de Lambert con una incógnita en medio de la ecuación te sale una maraña de de símbolos matemáticos que llenaría dos planas con hojas  de carta y claramente yo no busco eso para la solución del problema si quieres resolver este tipo de ecuaciones exponenciales el juego es ajustar la ecuación de tal modo que podamos aplicar la función de Lambert en la etapa final del problema
Esto se puede comprobar usando wolfram alpha.


21 Enero, 2021, 07:58 pm
Respuesta #5

ancape

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Luis

Efectivamente he tenido un error. Al tomar logaritmos he puesto un signo menos demasiado pequeño y luego lo he interpretado como un punto. La ecuación que tenemos al tomar logaritmos es \( x-e*log(x)=log(x+1) \Rightarrow{x=e*log(x)+log(x+1)} \) que resuelta numéricamente da los dos valores que tú indicas. Cómo ahora tengo una suma de logaritmos puedo seguir investigando soluciones analíticas.

Caso de la ecuación \( x=\displaystyle\frac{log(x+1)}{log(x)} \), está claro que no se puede dividir por 0, esto es, no está definida en x=0, pero puede ampliarse por continuidad, tomando límites.

Saludos

21 Enero, 2021, 08:17 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

\(  x=-w[\displaystyle\frac{-(x+1)^{-1/e}}{e}]*e  \)

Pero pasa que si calculas la w de Lambert con una incógnita en medio de la ecuación te sale una maraña de de símbolos matemáticos que llenaría dos planas con hojas  de carta y claramente yo no busco eso para la solución del problema si quieres resolver este tipo de ecuaciones exponenciales el juego es ajustar la ecuación de tal modo que podamos aplicar la función de Lambert en la etapa final del problema
Esto se puede comprobar usando wolfram alpha.

Bien; pero insisto en que NO siempre una ecuación donde aparezcan polinomios y exponencial puede resolverse de manera explícita ni aún usando la función W de Lambert.

Entonces repito mis preguntas: ¿qué te hace sospechar que en este caso SI puede resolverse explícitamente?¿en qué contexto te surge el problema?.

Saludos.