Creo recordar y espero que mi memoria no falle, que alguna vez dijiste que hay teoremas o cosas de la matemática que es muy recomendable (o casi necesario) conocer el resultado de antemano antes de ponerse a hacer los cálculos para ver si se "llega" o no a la solución. Pero puede que esté diciendo algo erróneo. O quizás me confundo porque no entendí la parte de "y sin saberlo... pse".
Pues es difícil saber a ciencia cierta de qué estás hablando, pero es posible que te refieras a algo que yo haya dicho sobre que —salvo en casos extremadamente simples… es insensato tratar de hacer deducciones de lógica formal "a ciegas", tratando de aplicar
modus ponens por aquí,
modus tollens por allá sin tener claro a priori un argumento informal que lleve a la conclusión. Ningún matemático razona concatenando reglas de inferencia a ver a dónde llega, pero eso no tiene nada que ver con esto. El equivalente aquí sería ir operando a ciegas, a ver si por casualidad se llega a algo sencillo. Nadie intentaría eso por mucho vino que hubiera bebido.
¿Tienes alguna referencia/link que profundice eso que pensaste de ese método? Sólo por curiosidad.
No sabría decirte. La idea general es que puedes ver la expresión de partida como un elemento de un cuerpo \( K=k(x, \alpha) \), donde \( k \) puede ser cualquier cuerpo (por ejemplo \( \mathbb Q \) o \( \mathbb R \)) y \( \alpha = \sqrt[3]x \) es una raíz del polinomio \( T^3-x \). Las otras raíces de ese polinomio son \( \omega\alpha \) y \( \omega^2\alpha \), donde \( \omega \) es una raíz cúbica de la unidad (distinta de 1). Esto hace que haya tres monomorfismos \( K\longrightarrow \mathbb C \) que fijan a los elementos de \( k(x) \), determinados por que transforman \( \alpha \) en \( \alpha \), \( \omega\alpha \) y \( \omega^2\alpha \), respectivamente.
Así, si llamamos \( p(x, \alpha) = 1+\alpha+x\alpha^2 \) (el denominador de la fracción dada), la teoría de cuerpos predice que su norma \( p(x, \alpha)p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha) \) es un elemento de \( k(x) \), es decir, que si calculas el producto, desaparecerá seguro \( \alpha \) (y también \( \omega) \), y si multiplicas sólo \( p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha) \) obtendrás un elemento de \( K \), por lo que desaparecerá \( \omega \), y entonces, operando el numerador y el denominador de
\( \displaystyle\frac1{p(x, \alpha)}= \dfrac{p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha)}{p(x, \alpha)p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha)} \)
se obtiene una expresión para \( p(x, \alpha)^{-1} \) en la que \( \alpha \) no aparece dividiendo, una expresión de la forma \( p(x)+q(z)\alpha+r(x)\alpha^2 \), donde los coeficientes son fracciones algebraicas. Al multiplicar esta expresión por el numerador \( (x-1)(1-x+\alpha^2) \) se obtiene necesariamente una expresión del mismo tipo que necesariamente será \( -1+\alpha \), y para llegar a esta expresión no es necesaria ninguna manipulación "feliz", sino que basta operar y simplificar teniendo en cuenta que \( \alpha^3 = x \) y que \( \omega^3 =1 \).
Pero lo mencioné únicamente para señalar que no me parecía satisfactoria la solución que di, porque requeriría mucha perspicacia sin conocer la solución de antemano, pero que la solución general "a lo bruto" tampoco era razonable.
