Autor Tema: Complicado ejercicio de simplificación...

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Enero, 2021, 11:38 am
Respuesta #10

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,428
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

También puedes hacer, para operar más cómodo, \( k=\sqrt[3]{x}
  \).

\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x\sqrt[3]{x^{2}}}=
  \)

\( \dfrac{(k^{3}-1)\left(1+k^{3}-k^{2}\right)}{1+k+k^{2}}=
  \)

\( \dfrac{k^{6}-k^{5}+k^{3}-k^{3}+k^{2}-1}{k^{2}+k+1}=
  \)

\( \dfrac{k^{6}-k^{5}+k^{2}-1}{k^{2}+k+1}
  \)

Haciendo la división euclídea de polinomios

\( k^{4}-2k^{3}+k^{2}+k-1
  \)

donde por Ruffini una raíz es 1 y entonces queda factorizado así

\( (k^{3}-k^{2}+1)(k-1)
  \)

sustituyendo por x

\( (x-\sqrt[3]{x^{2}}+1)(\sqrt[3]{x}-1)
  \)

Y, si no me he equivocado, no sé si te valdrá dejarlo así, factorizado.

(acabo de ver que ya lo había dicho Luis mientras yo escribía)

Saludos.

21 Enero, 2021, 12:04 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,845
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola


También puedes hacer, para operar más cómodo, \( k=\sqrt[3]{x}
  \).

\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x\sqrt[3]{x^{2}}}=
  \)

\( \dfrac{(k^{3}-1)\left(1+k^{3}-k^{2}\right)}{1+k+\color{red}k^{2}\color{black}}=
  \)

Sería:

\( \dfrac{(k^{3}-1)\left(1+k^{3}-k^{2}\right)}{1+k+\color{red}k^{5}\color{black}}=
  \)

Saludos.

21 Enero, 2021, 12:36 pm
Respuesta #12

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,428
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola


También puedes hacer, para operar más cómodo, \( k=\sqrt[3]{x}
  \).

\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x\sqrt[3]{x^{2}}}=
  \)

\( \dfrac{(k^{3}-1)\left(1+k^{3}-k^{2}\right)}{1+k+\color{red}k^{2}\color{black}}=
  \)

Sería:

\( \dfrac{(k^{3}-1)\left(1+k^{3}-k^{2}\right)}{1+k+\color{red}k^{5}\color{black}}=
  \)

Saludos.

Ah, sí, no he visto esa x de delante, perdón.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

21 Enero, 2021, 04:07 pm
Respuesta #13

Pie

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 270
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • \(\pi e\)
Respondí a este hilo justo antes de irme a dormir, y veo ahora que ha tenido bastante actividad. Por lo que veo, ya está todo aclarado.

De todos modos, la verdad es que no sabría cómo resolver el problema de forma natural. Como Lagartex sospechaba que podría haber algo mal, lo primero que hice fue meterlo en Mathematica por si, realmente, no había ninguna simplificación sustancial, y me encontré con la sorprendente respuesta \( -1+\sqrt[3]x \) y, claro, sabiendo de antemano lo que tenía que salir, fue relativamente fácil llegar al resultado. Pero sin saberlo de antemano el camino que he seguido hubiera requerido bastante inspiración.

Existe un procedimiento algebraico para llegar mecánicamente al resultado, pero requiere cálculos bastante pesados. No me parece una opción recomendable.

Pues a mí me parece difícil incluso sabiendo el resultado  :laugh: (claro que igual te da más pistas de cómo plantearlo).

De todos modos yo para la próxima me apunto el método de intentar "transformar" el numerador para poder cancelar algunos términos con el denominador (no sé ni cómo no lo interpreté así desde el inicio, ya que era imposible cancelar nada de otra forma XD), aunque supongo que dependerá del ejercicio que se pueda llegar a buen puerto con eso o no.. ;D

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

21 Enero, 2021, 08:46 pm
Respuesta #14

lagartex

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 5
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Muchas gracias Maestro Ivorra y a todos los que aportaron para resolver este ejercicio. He entendido el procedimiento del maestro Ivorra pero por lo que veo hace falta varios artificios para resolverlo, y son artificios que no se aplican así porque si, realmente hay que estar muy inspirado para sacarlos de la manga, aplicarlos y resolver el ejercicio... como el de sumar y restar esa raíz para que no afecte al numerador, luego separar el ejercicio en la suma de dos fracciones...Y por ultimo aplicar artificios para cambiar las raíces de modo que al factorizar se pueda simplificar con lo de abajo... Increible... Y estoy de acuerdo con el punto de que esta forma de resolverlo digamos que seria la forma mas inteligente de sacarlo pero habría otras formas mas mecánicas de sacarlo pero no seria lo recomendable...
Pero me gustaría ver la otra forma mecánica de resolverlo para aprender otras opciones aparte de la opción mas brillante... jeje
Mas que todo porque imaginaos chicos que sois profesores en un colegio, instituto, academia de mate PRE Universitaria, etc, y un alumno os pide que resolváis este ejercicio... Puede que en ese momento no os sintáis inspirados para sacarlo de la forma brillante y para salir de paso tengáis que recurrir a la forma mecánica, no creen? Que opináis?

21 Enero, 2021, 09:32 pm
Respuesta #15

lagartex

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 5
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Probé a sacarlo con el cambio de variable que planteasteis y relativamente es mas sencillo que el otro método aunque obviamente también es mas mecanico...

Muchas gracias por vuestra ayuda chicos  :)



Posdata: Perdón por subirlo en imagen, recién estoy aprendiendo Latex..

21 Enero, 2021, 10:49 pm
Respuesta #16

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,560
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Y estoy de acuerdo con el punto de que esta forma de resolverlo digamos que seria la forma mas inteligente de sacarlo pero habría otras formas mas mecánicas de sacarlo pero no seria lo recomendable...

Eso es muy subjetivo, pero yo no diría eso. Tal y como expliqué, como sospechabas que podría haber algún error que hiciera que el problema no tuviera una solución sencilla, lo primero que hice fue resolverlo con un programa de cálculo simbólico para evitar estar dando vueltas a algo que no condujera a nada, pero al obtener —sin querer— una solución tan simple, a partir de ahí fue relativamente fácil llegar a ella, pero con la "trampa" de saber de antemano a dónde hay que llegar. Desde luego, obtenerlo así no tiene gran cosa de "inteligente", y en cuanto a seguir ese camino sin haber sabido a priori a dónde había que llegar, se podrá considerar más o menos inteligente, pero no me parece que sea "recomendable" en ningún sentido. Me parece mucho más satisfactoria la solución que han dado Luis y feriva.

Pero me gustaría ver la otra forma mecánica de resolverlo para aprender otras opciones aparte de la opción mas brillante... jeje

Insisto en que calificar de "brillante" la solución que di yo me parece muy cuestionable. Desde luego, no tiene nada de brillante encontrarla sabiendo el resultado de antemano, y sin saberlo... pse. A mí personalmente no me interesan las soluciones de ese tipo, pero ya es cuestión de gustos.

Si te refieres a lo que dije que que se podría hacer de forma mecánica, pero más laboriosa, en realidad yo no me había planteado el cambio de variable y estaba pensando en algo más sofisticado que la solución que han dado Luis y feriva, sino que pensaba en aplicar un método general para calcular el inverso de un elemento algebraico a partir de sus conjugados (no importa a qué me refiero, pues sería tonto hacer algo así estando la posibilidad del cambio de variable que reduce el problema a operar con polinomios). Dije que hacer algo así es mecánico, pero bastante laborioso. La solución de Luis y feriva, en cambio, proporciona una forma de llegar al resultado con cálculos más que razonables sin necesidad de ningún artificio (salvo que consideres como tal el cambio de variable, que es bastante natural, en realidad). Por eso me parece la opción más sensata para abordar este problema.

Mas que todo porque imaginaos chicos que sois profesores en un colegio, instituto, academia de mate PRE Universitaria, etc, y un alumno os pide que resolváis este ejercicio... Puede que en ese momento no os sintáis inspirados para sacarlo de la forma brillante y para salir de paso tengáis que recurrir a la forma mecánica, no creen? Que opináis?

Pues opino que la solución que cabe esperar que uno llegue a encontrar es la que han dado Luis y feriva, y lo que me parecería surrealista es que un profesor esperara que sus alumnos encontraran la solución a base de artificios de cálculo.

21 Enero, 2021, 11:53 pm
Respuesta #17

manooooh

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,254
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Carlos

Insisto en que calificar de "brillante" la solución que di yo me parece muy cuestionable. Desde luego, no tiene nada de brillante encontrarla sabiendo el resultado de antemano, y sin saberlo... pse. A mí personalmente no me interesan las soluciones de ese tipo, pero ya es cuestión de gustos.

Creo recordar y espero que mi memoria no falle, que alguna vez dijiste que hay teoremas o cosas de la matemática que es muy recomendable (o casi necesario) conocer el resultado de antemano antes de ponerse a hacer los cálculos para ver si se "llega" o no a la solución. Pero puede que esté diciendo algo erróneo. O quizás me confundo porque no entendí la parte de "y sin saberlo... pse".

(...) sino que pensaba en aplicar un método general para calcular el inverso de un elemento algebraico a partir de sus conjugados (no importa a qué me refiero, pues sería tonto hacer algo así estando la posibilidad del cambio de variable que reduce el problema a operar con polinomios). (...)

¿Tienes alguna referencia/link que profundice eso que pensaste de ese método? Sólo por curiosidad.

Gracias y saludos

22 Enero, 2021, 12:14 am
Respuesta #18

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,428
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
He entendido el procedimiento del maestro Ivorra pero por lo que veo hace falta varios artificios para resolverlo, y son artificios que no se aplican así porque si, realmente hay que estar muy inspirado para sacarlos de la manga, aplicarlos y resolver el ejercicio... como el de sumar y restar esa raíz para que no afecte al numerador, luego separar el ejercicio en la suma de dos fracciones...

Es un recurso que los matemáticos con experiencia usan en ciertas cosas; es frecuente cuando se resuelve un límite que se expresa en función de la fórmula del número “e”, por ejemplo; se suma y se resta 1 o lo que sea y se manipula la cuenta... Pero aquí, como dice Carlos, es bastante complicado que a uno se le ocurra sin saber la solución de antemano (incluso sabiéndola, si no se tiene experiencia).

No obstante, no es malo que lo tengas presente por si te puede servir alguna vez (siempre que se te ocurra cómo).

Saludos.

22 Enero, 2021, 12:33 am
Respuesta #19

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,560
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Creo recordar y espero que mi memoria no falle, que alguna vez dijiste que hay teoremas o cosas de la matemática que es muy recomendable (o casi necesario) conocer el resultado de antemano antes de ponerse a hacer los cálculos para ver si se "llega" o no a la solución. Pero puede que esté diciendo algo erróneo. O quizás me confundo porque no entendí la parte de "y sin saberlo... pse".

Pues es difícil saber a ciencia cierta de qué estás hablando, pero es posible que te refieras a algo que yo haya dicho sobre que —salvo en casos extremadamente simples… es insensato tratar de hacer deducciones de lógica formal "a ciegas", tratando de aplicar modus ponens por aquí, modus tollens por allá sin tener claro a priori un argumento informal que lleve a la conclusión. Ningún matemático razona concatenando reglas de inferencia a ver a dónde llega, pero eso no tiene nada que ver con esto. El equivalente aquí sería ir operando a ciegas, a ver si por casualidad se llega a algo sencillo. Nadie intentaría eso por mucho vino que hubiera bebido.

¿Tienes alguna referencia/link que profundice eso que pensaste de ese método? Sólo por curiosidad.

No sabría decirte. La idea general es que puedes ver la expresión de partida como un elemento de un cuerpo \( K=k(x, \alpha) \), donde \( k \) puede ser cualquier cuerpo (por ejemplo \( \mathbb Q \) o \( \mathbb R \)) y \( \alpha = \sqrt[3]x \) es una raíz del polinomio \( T^3-x \). Las otras raíces de ese polinomio son \( \omega\alpha \) y \( \omega^2\alpha \), donde \( \omega \) es una raíz cúbica de la unidad (distinta de 1). Esto hace que haya tres monomorfismos \( K\longrightarrow \mathbb C \) que fijan a los elementos de \( k(x) \), determinados por que transforman \( \alpha \) en \( \alpha \), \( \omega\alpha \) y \( \omega^2\alpha \), respectivamente.

Así, si llamamos \( p(x, \alpha) = 1+\alpha+x\alpha^2 \) (el denominador de la fracción dada), la teoría de cuerpos predice que su norma \( p(x, \alpha)p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha) \) es un elemento de \( k(x) \), es decir, que si calculas el producto, desaparecerá seguro \( \alpha \) (y también \( \omega) \), y si multiplicas sólo \( p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha) \) obtendrás un elemento de \( K \), por lo que desaparecerá \( \omega \), y entonces, operando el numerador y el denominador de

\( \displaystyle\frac1{p(x, \alpha)}= \dfrac{p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha)}{p(x, \alpha)p(x, \omega\alpha)p(x, \omega^2\alpha)} \)

se obtiene una expresión para \( p(x, \alpha)^{-1} \)  en la que \( \alpha \) no aparece dividiendo, una expresión de la forma \( p(x)+q(z)\alpha+r(x)\alpha^2 \), donde los coeficientes son fracciones algebraicas. Al multiplicar esta expresión por el numerador \( (x-1)(1-x+\alpha^2) \) se obtiene necesariamente una expresión del mismo tipo que necesariamente será \( -1+\alpha \), y para llegar a esta expresión no es necesaria ninguna manipulación "feliz", sino que basta operar y simplificar teniendo en cuenta que \( \alpha^3 = x \) y que \( \omega^3 =1 \).

Pero lo mencioné únicamente para señalar que no me parecía satisfactoria la solución que di, porque requeriría mucha perspicacia sin conocer la solución de antemano, pero que la solución general "a lo bruto" tampoco era razonable.