Autor Tema: Complicado ejercicio de simplificación...

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21 Enero, 2021, 12:41 am
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lagartex

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\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

No consigo simplificarlo a algo totalmente reducido, no estoy seguro de si no tiene solución o si en algo estoy fallando...

21 Enero, 2021, 02:20 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=\dfrac{-1-x+\sqrt[3]{x^{2}}+x+x^2-x\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=
\dfrac{-1-x\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}
=\dfrac{-1-\sqrt[3] x-x\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

\( =-1+\dfrac{\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\dfrac{\sqrt[3] x+(\sqrt[3]x)^2+x(\sqrt[3]x)^3}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\dfrac{\sqrt[3] x(1+\sqrt[3]x+x(\sqrt[3]x)^2)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\sqrt[3]x \).

21 Enero, 2021, 03:35 am
Respuesta #2

Pie

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Pues sí que era un poco complicado.. yo  estaba intentándolo factorizando el denominador pero no conseguí llegar a nada con eso.. ;D

Una pregunta Carlos, cómo pasas de:

\( \dfrac{-1-\sqrt[3] x-x\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

a

\( -1+\dfrac{\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)?

Sorry por "entrometerme" pero no acabo de ver clara esa parte.. (y supongo que una aclaración sobre ese punto no hace daño a nadie  :laugh:)

Saludos.
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21 Enero, 2021, 03:55 am
Respuesta #3

w a y s

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Hola Pie.

Una pregunta Carlos, cómo pasas de:

\( \dfrac{-1-\sqrt[3] x-x\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

a

\( -1+\dfrac{\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)?

Fíjate en que: $$\frac{-1-\sqrt[ 3]{x}-x\sqrt[ 3]{x^2}+\sqrt[ 3]{x}+\sqrt[ 3]{x^2}+x^2}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}=\frac{-1-\sqrt[ 3]{x}-x\sqrt[ 3]{x^2}}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}+\frac{\sqrt[ 3]{x}+\sqrt[ 3]{x^2}+x^2}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}=-(\frac{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}})+\frac{\sqrt[ 3]{x}+\sqrt[ 3]{x^2}+x^2}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}=-1+\frac{\sqrt[ 3]{x}+\sqrt[ 3]{x^2}+x^2}{1+\sqrt[ 3]{x}+x\sqrt[ 3]{x^2}}$$.

Saludos.

21 Enero, 2021, 04:22 am
Respuesta #4

Pie

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Gracias ways, aunque sigo sin verlo claro. ¿Cómo desaparece la \( x \) de \( x\sqrt[3 ]{x^2} \)?

Con el penúltimo término del numerador supongo que querías decir \( \sqrt[3 ]{x^2} \). Gracias de todos modos, me aclaraste parte de mis dudas (aunque lo de la \( x \) sigo sin verlo, mejor me voy a dormir por hoy a ver si mañana lo pillo mejor  ;D)

Saludos.
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21 Enero, 2021, 04:28 am
Respuesta #5

w a y s

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Hola de nuevo Pie.

Con el penúltimo término del numerador supongo que querías decir \( \sqrt[3 ]{x^2} \).

Gracias por notarlo, como siempre, ando despistado, ya lo he corregido. ;D

Gracias ways, aunque sigo sin verlo claro. ¿Cómo desaparece la \( x \) de \( x\sqrt[3 ]{x^2} \)?

Respecto a esto, no sé muy bien a qué te refieres. ¿Podrías, por favor, indicarme el paso exacto del que hablas?

Gracias de antemano y perdona mi torpeza.

Un saludo.  :laugh:

21 Enero, 2021, 05:39 am
Respuesta #6

ingmarov

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Hola

Le agrego color y un par de pasos a las ecuaciones del maestro Ivorra, espero así lo puedas ver

\( \dfrac{(x{\color{blue}-1})\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=\dfrac{{\color{blue}-1-x+\sqrt[3]{x^{2}}}+x+x^2-x\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=\dfrac{{\color{blue}-1\cancel{-x}+\sqrt[3]{x^{2}}}+\cancel{x}+x^2-x\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=
\dfrac{{\color{blue}-1}-x\sqrt[3]{x^{2}}+{\color{blue}\sqrt[3]{x^{2}}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}
=\dfrac{{\bf-1{\color{red}-\sqrt[3] x}-x\sqrt[3]{x^{2}}}+{\color{red}\sqrt[3] x}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

\( =\dfrac{{\left(\bf-1{\color{red}-\sqrt[3] x}-x\sqrt[3]{x^{2}}\right)}+{\color{red}\sqrt[3] x}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=\dfrac{{\left(\bf-1{\color{red}-\sqrt[3] x}-x\sqrt[3]{x^{2}}\right)}+}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}+\dfrac{{\color{red}\sqrt[3] x}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\dfrac{\sqrt[3] x+\sqrt[3]{x^{2}}+x^2}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\dfrac{\sqrt[3] x+(\sqrt[3]x)^2+x(\sqrt[3]x)^3}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=-1+\dfrac{\sqrt[3] x(1+\sqrt[3]x+x(\sqrt[3]x)^2)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}}=\\=-1+\sqrt[3]x \).

Los términos en rojo se añadieron en la primera linea, no estaban pero al sumar y retar la misma cantidad (\[ \sqrt[3]{x} \]) aseguramos no cambiar el numerador original y convenientemente nos ayudan a simplificar.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

21 Enero, 2021, 06:07 am
Respuesta #7

Pie

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Vale, ya lo he visto. Estaba tan pendiente del numerador (ya que no se opera con el denominador) que ni me había fijado en que toda esa parte se acaba cancelando. :laugh:

Ya me vale. Estaba todo el rato pensando que se tenían que anular algunos términos (como el de \( x\sqrt[3 ]{x^2}  \)) con sumas y restas, etc.. XD

Ahora sí ya me quedó todo claro (perdón por mis desvaríos :laugh:).

Saludos.

PD. Olvida lo que te dije ways, con la explicación que diste bastaba y sobraba para aclarar mis dudas (de hecho no me aclaró nada, por simple torpeza mía XD)
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21 Enero, 2021, 10:41 am
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Respondí a este hilo justo antes de irme a dormir, y veo ahora que ha tenido bastante actividad. Por lo que veo, ya está todo aclarado.

De todos modos, la verdad es que no sabría cómo resolver el problema de forma natural. Como Lagartex sospechaba que podría haber algo mal, lo primero que hice fue meterlo en Mathematica por si, realmente, no había ninguna simplificación sustancial, y me encontré con la sorprendente respuesta \( -1+\sqrt[3]x \) y, claro, sabiendo de antemano lo que tenía que salir, fue relativamente fácil llegar al resultado. Pero sin saberlo de antemano el camino que he seguido hubiera requerido bastante inspiración.

Existe un procedimiento algebraico para llegar mecánicamente al resultado, pero requiere cálculos bastante pesados. No me parece una opción recomendable.

21 Enero, 2021, 11:10 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

\( \dfrac{(x-1)\left(1+x-\sqrt[3]{x^{2}}\right)}{1+\sqrt[3]{x}+x \sqrt[3]{x^{2}}} \)

No consigo simplificarlo a algo totalmente reducido, no estoy seguro de si no tiene solución o si en algo estoy fallando...

Para liberarse del "ruído" que hace la raíz cúbica, uno puede hacer el cambio \( t=\sqrt[3]{x} \), de forma que queda:

\( \dfrac{(t^3-1)(1+t^3-t^2)}{1+t+t^5} \)

Ahora habría dos formas de proceder:

1) Factorizar los polinomios; pero para el denominador no hay una forma obvia de hacerlo.
2) Multiplicar los polinomios del numerador y hacer la división polinómica del numerador entre el denominador, que no deja de ser un proceso mecánico (supongo que es al que se refería Carlos). Uno obtendría el cociente \( t-1 \).

Saludos.