Autor Tema: Probar que la topología cofinita es separable

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13 Enero, 2021, 08:06 pm
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mg

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Hola,

Este es un ejercicio de clase que el profesor ha resuelto pero me queda una duda con su solución.

Sea \( (X,T_{cof}) \) un espacio topológico, donde \( T_{cof} \) denota la topología cofinita. La solución dice lo siguiente.

La clausura de un conjunto D en la cofinita sería:

\( \bar{D}=D \) si D es finito. ( esto esta claro pues D pertenece a los cerrados)
\( \overline{D}=X \) si D es infinito. Y esto pues no veo porque debe ser. Agradecería que me lo explicaran.

Un saludo

13 Enero, 2021, 08:25 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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\( \overline D = X \) significa que todo abierto \( U\neq\emptyset \) corta a \( D \). Sea \( U=X\setminus F \), donde \( F \) es finito. Entonces \( D\not\subset F \), luego podemos tomar \( x\in D\setminus F \). Así \( x\in D\cap U\neq \emptyset \), luego ciertamente la clausura de \( D \) es \( X \).