[Mates oposición]

Un submarino se encuentra en el instante t=0 en la posición O(0,0) y observa la presencia de un buque enemigo en la posición B(a, b) el cual recorre con velocidad v la recta x=a en el sentido de los ordenadas crecientes. Si el submarino  posee una velocidad u , se desea determinar la dirección que debe seguir para encontrarse en el mínimo tiempo a una distancia r del buque desde el cual pueda torpedearle. Aplicar la fórmula que se obtenga al caso particular siguiente: a=8, b=1, r=2 siendo la velocidad del submarino doble que la del buque.

[ancape]

Calcula g y h en el triángulo de la figura, teniendo en cuenta que g=2h

 

[Abdulai]

Un submarino se encuentra en el instante t=0 en la posición O(0,0) y observa la presencia de un buque enemigo en la posición B(a, b) el cual recorre con velocidad v la recta x=a en el sentido de los ordenadas crecientes. Si el submarino  posee una velocidad u , se desea determinar la dirección que debe seguir para encontrarse en el mínimo tiempo a una distancia r del buque desde el cual pueda torpedearle. Aplicar la fórmula que se obtenga al caso particular siguiente: a=8, b=1, r=2 siendo la velocidad del submarino doble que la del buque.

Con esos datos particulares todo se reduce a (siguiendo la construcción de ancape) :  \( \sin\theta = \dfrac{h+1}{2h+2}=\dfrac{\cancel{(h+1)}}{2\;\cancel{(h+1)}}=\frac{1}{2} \;\;\rightarrow\;\;\theta=\frac{\pi}{6} \)
siendo \( \theta \) el ángulo de la dirección respecto al eje x

[ancape]

En el caso particular a=8, b=1, r=2 siendo la velocidad del submarino doble que la del buque tenemos la suerte de que al expresar el seno del ángulo que forma la trayectoria con el eje x, se va el factor (h+1), cosa que no ocurre para otros valores.
Si m=u/v relación entre velocidades del submarino y buque, entonces la gráfica que antes expuse lleva al sistema

                                                                                                  g = m·h
                                                                                                  \( (g+r)^2=(h+b)^2 + a^2  \)

fácil de resolver. La solución es la menor de las raíces que se obtengan.

El problema queda resuelto si se supone que la trayectoria del submarino es rectilínea, pero ¿ y si admitimos otro tipo de trayectorias para el submarino dejando al buque moverse en la vertical x=a?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

El problema queda resuelto si se supone que la trayectoria del submarino es rectilínea, pero ¿ y si admitimos otro tipo de trayectorias para el submarino dejando al buque moverse en la vertical x=a?

La trayectoria óptima debe de ser recitlínea; grosso modo: si se llega a un punto con una curva, puede llegar a ese mismo punto antes, con una recta.

Saludos.

[ancape]

Hola

El problema queda resuelto si se supone que la trayectoria del submarino es rectilínea, pero ¿ y si admitimos otro tipo de trayectorias para el submarino dejando al buque moverse en la vertical x=a?

La trayectoria óptima debe de ser recitlínea; grosso modo: si se llega a un punto con una curva, puede llegar a ese mismo punto antes, con una recta.

Saludos.

Es el mismo tipo de razonamiento que sostenía que la curva de descenso mínimo (braquistocrona) era el segmento rectilíneo que une los puntos inicial y final, hasta que el cálculo de variaciones probó que no.

Saludos

[geómetracat]

Es el mismo tipo de razonamiento que sostenía que la curva de descenso mínimo (braquistocrona) era el segmento rectilíneo que une los puntos inicial y final, hasta que el cálculo de variaciones probó que no.

Hay una diferencia esencial: en el problema de la braquistócrona hay una asimetría entre la dirección horizontal y vertical, pues tienes la fuerza de la gravedad.

Este problema en cambio es simétrico, la velocidad es la misma vayas en la dirección que vayas (y la aceleración es cero). Si la velocidad es siempre la misma, es claro que el camino más rápido entre dos puntos es una recta, pues en este caso el camino más rápido coincide con el más corto (en longitud).

[ancape]

Es el mismo tipo de razonamiento que sostenía que la curva de descenso mínimo (braquistocrona) era el segmento rectilíneo que une los puntos inicial y final, hasta que el cálculo de variaciones probó que no.

Hay una diferencia esencial: en el problema de la braquistócrona hay una asimetría entre la dirección horizontal y vertical, pues tienes la fuerza de la gravedad.

Este problema en cambio es simétrico, la velocidad es la misma vayas en la dirección que vayas (y la aceleración es cero). Si la velocidad es siempre la misma, es claro que el camino más rápido entre dos puntos es una recta, pues en este caso el camino más rápido coincide con el más corto (en longitud).

Fíjate que en mi comentario yo no he dicho nunca que la línea recta no sea el camino más rápido, sino que el argumento que se apoya en que el camino recto es mas corto no es un razonamiento válido. ¿Es cierto que cuando la velocidad es constante, el camino recto es el mas rápido?.

[geómetracat]

¿Es cierto que cuando la velocidad es constante, el camino recto es el mas rápido?.

Sí, si la velocidad es constante el tiempo que se tarda en recorrer un camino es proporcional a su longitud. Más precisamente, un camino de longitud \[ l \] se recorre en un tiempo \[ l/v \], con \[ v \] la velocidad.

[Abdulai]

...
Es el mismo tipo de razonamiento que sostenía que la curva de descenso mínimo (braquistocrona) era el segmento rectilíneo que une los puntos inicial y final, hasta que el cálculo de variaciones probó que no.

No es lo mismo, en el problema de la braquistócrona la velocidad no es constante.

Tampoco hacía falta cálculo variacional para demostrar que la trayectoria recta no es la mas rápida, bastaba considerar otra trayectoria y compararla con la recta.   Si por ejemplo se toma una trayectoria rectangular (cae vertical y luego sigue horizontal) , para ángulos menores de 36° resulta mas rápida que la recta.
El verdadero problema era encontrar la curva óptima.