[Marcos Castillo]

Hola, tengo un ejercicio resuelto, pero unas dudas. Lo escribo, y luego las dudas:

"Demuestre que la ecuación \( x^3-x-1=0 \) tiene una solución en el intervalo \( [1,2] \)"

Solución La función \( f(x)=x^3-x-1 \) es un polinomio y, por tanto, es continua en todo punto. Tenemos que \( f(1)=-1 \) y \( f(2)=5 \). Como 0 es un valor entre -1 y 5, el teorema del valor medio (creo que se refiere al teorema del valor intermedio) nos asegura que debe existir un número \( c \) en el intervalo \( [1,2] \) tal que \( f(c)=0 \)

Un método para calcular un cero de una función continua que cambia de signo en los extremos de un intervalo se basa en dividir sucesivas veces el intervalo por la mitad (método de la bisección), determinando en qué mitad de la división está la raíz, que será aquella mitad en la que la función en sus extremos presente signos opuestos. Este método es lento. Por ejemplo, si el intervalo original tuviera de longitud 1, llevaría 11 divisiones conseguir un intervalo cuya longitud fuese menor que 0.0005 (porque \( 2^{11}>2000=1/(0.0005) \)), asegurándonos por tanto que hemos encontrado la raíz con una precisión de tres dígitos decimales. Sin embargo, este método no requiere hardware gráfico (creo que se refiere a software gráfico, como Geogebra, por ejemplo) y se puede realizar de forma sencilla con una calculadora, preferiblemente una en la que la expresión de la función se pueda programar.

Tabla 6. Método de la bisección para \( f(x)=x^3-x-1=0 \)

\( \begin{array}{|c||l||r||l||l|}\hline
Número\; de\; bisección&x&f(x)&Intervalo\; de\; la\; raíz&Punto\; medio\\
\hline
&1&-1&&\\
&2&5&[1,2]&1.5\\
1&1.5&0.8750&[1,1.5]&1.25\\
2&1.25&-0.2969&[1.25,1.5]&1.375\\
3&1.375&0.2246&[1.25,1.375]&1.3125\\
4&1.3125&-0.0515&[1.3125,1.375]&1.3438\\
5&1.3438&0.0826&[1.3125,1.3438]&1.3282\\
6&1.3282&0.0147&[1.3125,1.3282]&1.3204\\
7&1.3204&-0.0186&[1.3204,1.3282]&1.3243\\
8&1.3243&-0.0018&[1.3243,1.3282]&1.3263\\
9&1.3263&0.0065&[1.3243,1.3263]&1.3253\\
10&1.3253&0.0025&[1.3243,1.3253]&1.3248\\
11&1.3248&0.0003&[1.3243,1.3248]&1.3246\\
12&1.3246&-0.0007&[1.3246,1.3248]&\\
\hline
\end{array} \)


Las preguntas son: ¿\( 2^{11} \) son variaciones con repetición, o es simplemente el principio de multiplicación?. Variaciones con repetición serían por ejemplo rellenar una quiniela: el conjunto es un intervalo: \( 1\leq{x}\leq{2} \). Encajaría la definición: serían variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 11 en 11. El número total de divisiones sería 11, que tomadas de 2 en 2,\( \mbox{VR}_{2,\;11} \); por otra parte está el principio de adición: sea \( A_1 \), \( A_2 \),..., \( A_{11} \) una colección de conjuntos disjuntos dos a dos \( (A_i\cap{A_j}=\emptyset\;\mbox{para cada}\;i\neq{j}\;\mbox{con}\;i,j\in{\{1,2,...,11\}} \), entonces \( |A_1\cup{A_2}\cup{}...\cup{A_{11}}|=|A_1|+|A_2|+...+|A_{11}| \). Este principio se puede interpretar de la forma siguiente: Si hay \( r_1 \) objetos diferentes en \( A_1 \), \( r_{n} \) objetos en \( A_{n} \), y los diferentes conjuntos no tienen elementos comunes, entonces la forma de elegir un objeto de los \( n \) conjuntos es \( r_1+r_2+...+r_n \)...No, el principio de adición no creo que sea, porque los diferentes intervalos pueden tener elementos comunes.
Pero una última pregunta: en \( 2^{11}>2000=1/(0.0005) \), \( 2^{11} \), ¿qué significa?. Esta última pregunta evidencia que no he entendido nada 

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Las preguntas son: ¿\( 2^{11} \) son variaciones con repetición, o es simplemente el principio de multiplicación?.

Si te refieres a contar las posibilidades distintas al ir quedándonos con uno u otro de los dos intervalos en los que dividimos el anterior en cada paso, pues cualquiera de las dos cosas, porque de hecho las variaciones con repeteción son un caso particular del principio de multiplicación. En éste último se calcula el cardinal de \( A_1\times A_2\times \ldots\times A_n \); en las variaciones todos esos conjuntos \( A_i \) son el mismo.

Pero en realidad no hace falta que recurras a ningún nombre técnico de combinatoria para entender el asunto; en cierto modo hasta es mejor que no lo hagas. La idea es mucho más sencilla e intuitiva.

Lo que dicen es lo siguiente. Si tu sabes que la raíz está en un intervalo de longitud \( 1 \), por ejemplo, el \( [1,2] \), lo divides en dos trozos iguales \( [1,1.5] \) y \( [1.5,2] \) y te quedas con el trozo en el cual la función en los extremos tome signos distintos (si ocurre en los dos te quedas con el que tu quieras). Hacemos esto porque el teorema del los valores intermedios te garantiza que en un intervalo con esa propiedad hay una raíz. Fíjate que entonces hay DOS posiblidades para este primer paso: que nos hayamos quedado con el intervalo de la izquierda o con el de la derecha.

Repetimos el proceso con el intervalo anterior escogido, pongamos \( [1,1.5] \); lo dividimos en dos \( [1,1.25] \) y \( [1.25,1] \) y nos quedamos con el trocito donde la función tiene signo opuesto en los extremos. Nota que de nuevo hay dos posibilidades resultados de este proceso, habernos quedado con el intervalo de la izquierda o con el de la derecha. Es decir por cada dos posibilidades de la primera partición ahora vuelve haber otras dos posiblidades: \( 2\cdot 2=2^2=4 \).

Y así sucesivamente.

Y vamos ahora con la longitud del intervalo. Si inicialmente el intervalo donde sabemos que está la raíz tenía longitud \( 1 \):

- Tras la primera división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2 \).
- Tras la segunda división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2^2 \).
- Tras la tercera división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2^3 \).

y así sucesivamente.

Entonces después de \( 11 \) subdivisiones sabemos que nuestra solución está en un intervalo de longitud \( 1/2^{11} \). No sabemos exactamente qué punto de ese intervalo es, pero si, que si escogemos uno cualquiera, la máxima distancia con la solución correcta es la longitud del intervalo:

\( error<\dfrac{1}{2^{11}}=\dfrac{1}{2048} \)

Por último el texto que citas todavía hace una aproximación a esto, por redondear, como \( 2048>2000  \)tienes:

\( error<\dfrac{1}{2^{11}}=\dfrac{1}{2048}<\dfrac{1}{2000}=0.0005 \)

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchísimas gracias, Luis Fuentes! ¡Qué sencillo ha resultado con tu ayuda!
Pero es más sutil de lo que parece. Por ejemplo en el primer paso, tenemos dos intervalos, \( [1,1.5] \) y \( [1.5,2] \): el teorema del valor intermedio lo podemos aplicar en \( [1,1.5] \); y así sucesivamente, sí es un algoritmo.
Ese cuadro no me sugería nada.

\( error<\dfrac{1}{2^{11}}=\dfrac{1}{2048}<\dfrac{1}{2000}=0.0005 \). Otra cosa que no entendía. El error es menor que 0.0005. Esto en porcentaje es un error del 0,05% (¿correcto?), que para mí es más comprensible.

¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Hola, me he liado con el concepto de error absoluto y error relativo.

\( \mbox{Error absoluto=|Valor exacto - Valor aproximado|} \). No conocemos el valor exacto, así que no podemos hacer esto.

\( \mbox{Error relativo}=\frac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor exacto}} \). La misma razón: no conocemos el valor exacto, así que no podemos saber el Error relativo.

Pero sí sabemos que el error absoluto es menor que uno, y el valor exacto...No, por ahí no.

Y vamos ahora con la longitud del intervalo. Si inicialmente el intervalo donde sabemos que está la raíz tenía longitud \( 1 \):

- Tras la primera división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2 \).
- Tras la segunda división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2^2 \).
- Tras la tercera división sabemos que está en un intervalo de longitud \( 1/2^3 \).

y así sucesivamente.

Entonces después de \( 11 \) subdivisiones sabemos que nuestra solución está en un intervalo de longitud \( 1/2^{11} \). No sabemos exactamente qué punto de ese intervalo es, pero si, que si escogemos uno cualquiera, la máxima distancia con la solución correcta es la longitud del intervalo:

\( error<\dfrac{1}{2^{11}}=\dfrac{1}{2048} \)

Por último el texto que citas todavía hace una aproximación a esto, por redondear, como \( 2048>2000  \)tienes:

\( error<\dfrac{1}{2^{11}}=\dfrac{1}{2048}<\dfrac{1}{2000}=0.0005 \)

Sabemos el valor aproximado. Pero, ¿qué relación tiene con los conceptos de error absoluto y error relativo?; ¿puedo hablar de una aproximación del 0.05%?

Un saludo

[geómetracat]

El error que aparece ahí es el error absoluto. Aunque no sepas el valor exacto de la raíz, puedes calcular una cota para el error absoluto. La cuestión es que si sabes que la raíz está en un intervalo de longitud \[ l \], tienes que \[ |x-\text{valor exacto}|\leq l \] para cualquier \[ x \] del intervalo.
No puedes hablar de un error relativo del \[ 0.05\% \], porque el error relativo en porcentaje no es el error absoluto multiplicado por \[ 100 \]. Y por otro lado, no tiene sentido hablar de error absoluto en porcentaje.

En este caso, puedes hallar una cota al error relativo de la siguiente manera. Ya sabemos que el error absoluto es \[ <0.0005 \]. Por otro lado, sabemos que el valor exacto está en el intervalo \[ [1.3246,1.3248] \]. Por tanto,
\[ e_{rel}=\frac{e_{abs}}{x} \leq \frac{0.0005}{x}\leq \frac{0.0005}{1.3246}\approx 0.00038 \], donde \[ e_{rel} \] es el error relativo, \[ e_{abs} \] el error absoluto, \[ x \] el valor exacto, y hemos usado que \[ x>1.3246 \].

Y ahora sí puedes decir que el error relativo es como mucho del \[ 0.038\% \].

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me he liado con el concepto de error absoluto y error relativo.

\( \mbox{Error absoluto=|Valor exacto - Valor aproximado|} \). No conocemos el valor exacto, así que no podemos hacer esto.

No sabemos el valor exacto, pero si sabemos que ambos, exactos y aproximado se encuentran un intervalo de longitud \( 1/2^{11}. \) Por tanto la máxima distancia a la que pueden estar uno de otro es esa longitud y por eso escribimos:

\( \mbox{Error absoluto=|Valor exacto - Valor aproximado|}\leq \dfrac{1}{2^{11}} \)

\( \mbox{Error relativo}=\frac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor exacto}} \). La misma razón: no conocemos el valor exacto, así que no podemos saber el Error relativo.

Con el error relativo hay que tener un poco más de cuidado.

¿puedo hablar de una aproximación del 0.05%?

No necesariamente. Para aproximar el error relativo tienes que tener en cuenta cuál es el intervalo al que has llegado al final. Por ejemplo si has llegado a \( [1.3243,1.3248] \) sabes que el valor exacto y aproximando \( x,x' \) cumple:

\( 1.3243\leq x,x'\leq 1.3248 \)

Entonces el error relativo puede acotarse así:

\( \mbox{Error relativo}=\frac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor exacto}}= \dfrac{|x-x'|}{x}\leq \dfrac{0.0005}{1.3243} \)

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó geómetracat.

[Marcos Castillo]

¡Hola!

No puedes hablar de un error relativo del \[ 0.05\% \], porque el error relativo en porcentaje no es el error absoluto multiplicado por \[ 100 \]. Y por otro lado, no tiene sentido hablar de error absoluto en porcentaje.

Puf, no sé ni cómo se me ha ocurrido, ahora que lo dices. ¿Cómo sacar un porcentaje de una distancia?;¿porcentaje respecto a qué?.

En este caso, puedes hallar una cota al error relativo de la siguiente manera. Ya sabemos que el error absoluto es \[ <0.0005 \]. Por otro lado, sabemos que el valor exacto está en el intervalo \[ [1.3246,1.3248] \]. Por tanto,
\[ e_{rel}=\frac{e_{abs}}{x} \leq \frac{0.0005}{x}\leq \frac{0.0005}{1.3246}\approx 0.00038 \], donde \[ e_{rel} \] es el error relativo, \[ e_{abs} \] el error absoluto, \[ x \] el valor exacto, y hemos usado que \[ x>1.3246 \].

Y ahora sí puedes decir que el error relativo es como mucho del \[ 0.038\% \].

El intervalo correspondiente al error menor de \( 0.0005 \) es \( [1.3243,1.3248] \), por lo tanto:

Para aproximar el error relativo tienes que tener en cuenta cuál es el intervalo al que has llegado al final. Por ejemplo si has llegado a \( [1.3243,1.3248] \) sabes que el valor exacto y aproximando \( x,x' \) cumple:

\( 1.3243\leq x,x'\leq 1.3248 \)

Entonces el error relativo puede acotarse así:

\( \mbox{Error relativo}=\frac{\mbox{Error absoluto}}{\mbox{Valor exacto}}= \dfrac{|x-x'|}{x}\leq \dfrac{0.0005}{1.3243} \)

El resultado sin embargo es el que apuntas, geómetracat: un error de aproximadamente el \( 0.038\% \).

¡Un saludo y gracias!