Autor Tema: Sobre números irracionales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Enero, 2021, 12:20 am
Leído 146 veces

Pie

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 211
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • \(\pi e\)
Buenas. Estaba pensando en algo que a lo mejor es una tontería pero que me resulta un tanto paradójico. Según la definición de número irracional (la que yo conozco al menos) sería un número que no puede ser expresado como una fracción de enteros, o un número con infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces me pregunto, podría un número, con infinitas cifras decimales, pero con sólo dos dígitos diferentes ser irracional?

Algo como \( 1,001000110111 \).. Es decir, con una distribución "aleatoria" de ceros y unos, de modo que no pudiera hayarse ningún período, ni ninguna fracción de enteros que diera eso.

O el hecho de que un número sea irracional implica que no puede asegurarse que esté conformado sólo por dos (o \( x \)) digitos?

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

13 Enero, 2021, 12:35 am
Respuesta #1

sugata

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,817
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Juraría que si. Tiene infinitos decimales y no es periódico, luego es irracional.
No creo que tener solo dos dígitos evite que sea irracional.

13 Enero, 2021, 12:54 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,971
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Juraría que si. Tiene infinitos decimales y no es periódico, luego es irracional.
No creo que tener solo dos dígitos evite que sea irracional.

Toda la razón del mundo por ejemplo:
\( \displaystyle a = \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{1}{10^{i!}}  \) es irracional.

13 Enero, 2021, 01:02 am
Respuesta #3

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,373
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas. Estaba pensando en algo que a lo mejor es una tontería pero que me resulta un tanto paradójico. Según la definición de número irracional (la que yo conozco al menos) sería un número que no puede ser expresado como una fracción de enteros, o un número con infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces me pregunto, podría un número, con infinitas cifras decimales, pero con sólo dos dígitos diferentes ser irracional?

Algo como \( 1,001000110111 \).. Es decir, con una distribución "aleatoria" de ceros y unos, de modo que no pudiera hayarse ningún período, ni ninguna fracción de enteros que diera eso.

O el hecho de que un número sea irracional implica que no puede asegurarse que esté conformado sólo por dos (o \( x \)) digitos?

Saludos.

La constante de Liouville es un número irracional con sólo ceros y unos. Mira aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Liouville

13 Enero, 2021, 01:05 am
Respuesta #4

manooooh

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,136
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Otro ejemplo: La constante binaria de Champernowne. Es un número normal, una propiedad muy peculiar y muy difícil de estudiar de los números irracionales.

Básicamente ese número se construye empezando por \( 0. \) y poniendo los números naturales uno detrás de otro pero en base \( 2 \), o binario (porque consta de ceros y unos):

\begin{align*}
C_2=0.(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000){\ldots}_2&=0.110111001011101111000{\ldots}_2\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n+\sum_{k=1}^n\lfloor\log_2 k\rfloor}}\\
&=0.12345678{\ldots}_{10}\\
\end{align*}

Saludos

13 Enero, 2021, 01:10 am
Respuesta #5

Pie

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 211
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • \(\pi e\)
Gracias sugata, Juan Pablo, Masacroso y manooooh. No se me habían ocurrido esos ejemplos.

La verdad es que pensándolo mejor, creo que mi pregunta era un poco absurda. Es obvio que pueden (y deben) existir irracionales así, ya que son números posibles al fin y al cabo XD

Saludos.


Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

13 Enero, 2021, 12:33 pm
Respuesta #6

ancape

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 157
  • País: es
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
El número a=0,10110011100011110000.... ya se ve que la construcción consiste en poner n grupos de unos y n grupos de ceros, es irracional pues no es cociente de enteros (tiene infinitas cifras decimales y no podemos un grupo periódico pues el patrón de construcción lo impide).

Un saludo

13 Enero, 2021, 12:46 pm
Respuesta #7

Pie

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 211
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • \(\pi e\)
El número a=0,10110011100011110000.... ya se ve que la construcción consiste en poner n grupos de unos y n grupos de ceros, es irracional pues no es cociente de enteros (tiene infinitas cifras decimales y no podemos un grupo periódico pues el patrón de construcción lo impide).

Un saludo

Sí, ni siquiera haría falta que la distribución fuera "aleatoria" como decía. De hecho ese tipo de irracionales serían más fáciles de definir o de identificar (que si tuvieran una distribución más "aleatoria", etc..)

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.