Autor Tema: Expresión de una función holomorfa.

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12 Enero, 2021, 06:21 pm
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Hauss

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Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.

Gracias de antemano.

12 Enero, 2021, 07:27 pm
Respuesta #1

Restituto

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Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.
Piensa en cocientes de polinomios y qué pasa si es en el denominador en el que \( z\rightarrow 0 \). También considera si con un dominio en el plano complejo extendido la función puede ser entera.

12 Enero, 2021, 07:38 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Una duda. ¿Por \( \Bbb C^* \) estás denotando el plano complejo ampliado (añadiendo el infinito) o el plano complejo menos el cero?. Para que todo cuadre debería de ser lo segundo, es decir, el plano complejo menos el cero. Si es así veo correcto tu demostración.

En otro caso, si por \( \Bbb C^* \) estás denotando el plano complejo ampliado hay algo que no cuadra. La función, si cumple que \( f(z)\to \infty \) cuando \( z\to 0 \), NO es holomorfa en cero.

Citar
Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

No entiendo exactamente qué problemas ves o en que sentido contradice algo que has hecho antes.

Piensa en cocientes de polinomios y qué pasa si es en el denominador en el que \( z\rightarrow 0 \). También considera si con un dominio en el plano complejo extendido la función puede ser entera.

Para ser sincero no capto que has querido decir con esas sugerencias.

Saludos.

12 Enero, 2021, 07:41 pm
Respuesta #3

Restituto

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Hola



Piensa en cocientes de polinomios y qué pasa si es en el denominador en el que \( z\rightarrow 0 \). También considera si con un dominio en el plano complejo extendido la función puede ser entera.

Para ser sincero no capto que has querido decir con esas sugerencias.

Saludos.
He interpretado \( C^* \) como el plano complejo extendido. Si es el otro caso retiro lo dicho. Lo de holomorfo pensé que podía ser error de transcripción o que era holomorfa fuera de sus polos-

12 Enero, 2021, 07:44 pm
Respuesta #4

Hauss

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No entiendo exactamente qué problemas ves o en que sentido contradice algo que has hecho antes.

Hola, \( \mathbb{C^{*}} \) denota el plano complejo menos el cero.

El único problema que tenia es que pensaba que los coeficientes debían ser especiales o algo así, pero creo que es solo notación, solo eso me causaba confusión, muchas gracias!

12 Enero, 2021, 07:47 pm
Respuesta #5

Restituto

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Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

12 Enero, 2021, 07:48 pm
Respuesta #6

Hauss

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Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

No pasa nada, disculpen ustedes por no especificar eso, gracias por la atención de cualquier forma!.

12 Enero, 2021, 07:48 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

Si, es que ciertamente es una notación muy extendida para el plano complejo ampliado.

Saludos.