Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:
Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:
\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)
Bueno, mi solución fue la siguiente:
La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.
Anteriormente había resuelto un problema que decía:
Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.
Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)
Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.
Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.
Gracias de antemano.
