Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_{\lambda}(x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z). \) Encontrar todos los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave.
Hola, primero calculamos las derivadas parciales.
\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-3\lambda x^2+2\lambda xz=0 \)
\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz=0 \)
\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2+\lambda x^2=0 \)
De la primera ecuación, se tiene que:
\( -3\lambda x^2+2\lambda xz=0\implies \lambda (-3x^2+2xz)=0\implies \lambda=0 \, \vee \, -3x^2+2xz=0 \)
De la tercera ecuación tenemos que:
\( y^2+\lambda x^2=0\implies \lambda=-\dfrac{y^2}{x^2} \).
Entonces, los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave son: \( \lambda \ne 0 \) y \( \lambda \ne -\dfrac{y^2}{x^2} \).
