[Jesús Álvarez]

 
En el trabajo adjunto, "Consideraciones diofánticas en torno a la conjetura de Collatz", expreso el  p-ésimo término impar de la serie de Collatz en función del primer término. A continuación se demuestra:
a) Todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (excluyendo la serie obvia: 4, 2, 1)
b) Teniendo en cuenta los exponentes del 2 en todos los números pares distintos de potencias de 2, se prueba que la serie de Collatz de términos impares no diverge.
Como consecuencia de a) y b) y utilizando, entre otros resultados, el teorema de Euler, se obtienen, en opinión del autor, argumentos en favor de la conjetura de Collatz.
El trabajo ocupa 9 páginas y es fruto de muchos meses de investigaciones propias, aunque no de forma continua.

[Luis Fuentes]

Hola

Como consecuencia de a) y b) y utilizando, entre otros resultados, el teorema de Euler, se obtienen, en opinión del autor, argumentos en favor de la conjetura de Collatz.

 No seas tímido. En el trabajo afirmas que has demostrado la Conjetura de Collatz. 

 Bien, vamos "al lío". La demostración del Teorema 2, en la pagina 5, en el caso (b), podría ocurrir que \( mcd(n_1,k)=n_1 \), es decir que \( n_1'=1 \).

Saludos.

[Jesús Álvarez]

Me gustaría saber si se ha llegado a demostrar que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (a excepción de la serie trivial 4, 2, 1.)
Si no es así o a alguien le interesa, creo haberlo probado completando la demostración que inicié en el trabajo adjunto ("Consideraciones ...") pero teniendo en cuenta el caso que me faltaba y que muy bien observó Luis Fuentes.
Invito al que lo desee que intente la demostración que he indicado. Mostraré más adelante la mía.

[Luis Fuentes]

Hola

Me gustaría saber si se ha llegado a demostrar que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (a excepción de la serie trivial 4, 2, 1.)

Que yo sepa no está demostrado. Hay trabajos que prueba que si existiese un ciclo debería de ser de longitud mayor que "tanto" (da igual el número).

Si uno bucea en internet buscando trabajos en inglés, encuentra alguno que DICE que lo ha probado; pero si uno indaga un poco más ve que no están publicados en ninguna revista (mínimante seria) y algunas además tienen un anexo donde ponen de manifiesto el error.

Saludos.

[Jesús Álvarez]

Gracias, Luis por tu respuesta.
Ahora adjunto la nueva versión del trabajo anteriormente mencionado con la demostración de que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (excepto los términos triviales).

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, Luis por tu respuesta.
Ahora adjunto la nueva versión del trabajo anteriormente mencionado con la demostración de que todos los términos de la serie de Collatz son distintos entre sí (excepto los términos triviales).

En la página 5, cuando estudias el caso c) ii) supones que \( n_1=n_{p-1} \) y también que \( n_1=n_p \). Entonces lo único que pruebas es que no se pueden dar las dos cosas al tiempo; lo cuál es una obviedad porque entonces \( n_{p-1},n_p) \) serían dos términos consecutivos iguales de una sucesión de Collatz; y es trivial que eso no se da.

Pero no pruebas que no pueda darse \( n_1=n_p \), sin más.

De hecho no entiendo a que viene que consideres además que \( n_1=n_{p-1} \).

Saludos.

[Jesús Álvarez]

No supongo \( n_p=n_1 \). Sí supongo \( n_{p-1}=n_1 \) pero en este caso \( p \) toma valores mayores que \( 2 \). Se llega a que \( n_{p-1} \) es distinto de \( n_1 \). Si hacemos \( p-1 =k \), lo anterior se puede resumir como \( n_1 \) es distinto de \( n_k \), con \( k \) natural mayor que \( 1 \).

[Luis Fuentes]

Hola

No supongo \( n_p=n_1 \). Sí supongo \( n_{p-1}=n_1 \) pero en este caso \( p \) toma valores mayores que \( 2 \). Se llega a que \( n_{p-1} \) es distinto de \( n_1 \). Si hacemos \( p-1 =k \), lo anterior se puede resumir como \( n_1 \) es distinto de \( n_k \), con \( k \) natural mayor que \( 1 \).

Tienes razón; luego lo miro con más calma.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 De acuerdo, no es exactamente la crítica que te había planteado pero es muy parecida. El problema es el siguiente

 En la prueba del Teorema 2:

 - En los casos a)b)c.i) trabajas bajo la suposición \( n_1=n_p \) y pruebas que eso no es posible si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \).

 - En el caso c.ii) sin embargo trabajas bajo la suposición \( n_1=n_{p-1} \) y \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \). Pero OJO ahí ese \( k \) es el de la expresión de \( n_p=\dfrac{3^{p-1}n_1+k}{2^{\alpha_2+\ldots+\alpha_p}} \).

 Entonces en ningún momento estas descartando que \( n_1=n_p \) y  \( mcd(n_1,k)=n_1 \) con \( n_1 \) no múltiplo de \( 3 \).

 O visto de otra manera en ningún momento estás descartando que \( n_1=n_{p-1} \) si \( mcd(n_1,k)=1 \), \( h\neq n_1 \) ó si \( mcd(n_1,k)=n_1 \) y \( n_1 \) es múltiplo de \( 3 \) (siendo en todos esos caso el \( k \) de la expresión \( n_p \)).

 Como te dije el usar en el caso c.ii) \( n_1=n_{p-1} \) no viene a cuento y hace que todo que apliques ahí no se relacione con lo que has descartado antes.

Saludos.

[Jesús Álvarez]

Hola, Luis. No he trabajado bajo la suposición \( n_1=n_p \) en los dos primeros casos del teorema 2. Sencillamente se han probado utilizando resultados del teorema 1. Como la demostración del tercer caso del teorema 2 se hace por reducción al absurdo, a diferencia de los demás casos, he intentado explicarme con más detalle haciendo de las partes esenciales del teorema 2 dos teoremas, el teorema 2 nuevo y el teorema 2 bis para que quede clara la independencia de los dos. Además insisto en que los casos que se estudian dependen del valor de k, nunca de los valores \( n_1 \), \( n_{p-1} \)  o \( n_p \). Las aclaraciones me resultan más cómodas escribirlas y adjuntarlas. Siento no saber utilizar laTex. Haz el favor de leer el archivo adjunto.