[gtilef]

¿Como puedo probar que la función \( L:L^1(0,\infty)\rightarrow L^1(0,\infty) \) definida como:
\( (Lg)(x):=\displaystyle\int_{0}^{x}w(x-y)c(y)g(y)dy-c(x)g(x) \)
es función de Lipschitz?

Se que para ser Lipschitz necesito obtener que \( |(Lg)(x)-(Lg)(y)|\leq M|x-y| \) con \( M>0 \) una constante. Pero tengo problemas al estar definido en el espacio \( L^1(0,\infty) \)

[gtilef]

La norma en \( L^1 \) entiendo que es:
\( ||f||_{1}=\int_{0}^{\infty} |f|dt \)

[geómetracat]

Yo entiendo que lo que te piden aquí es probar que existe una constante \[ C>0 \] tal que para todo par de funciones \[ f,g \in L^1(0,+\infty) \] se cumple:
\[ ||Lf-Lg||_1 \leq C ||f-g||_1 \], donde la norma es la que has puesto en el segundo mensaje.

A ver si esto te ayuda.

[gtilef]

Yo entiendo que lo que te piden aquí es probar que existe una constante \[ C>0 \] tal que para todo par de funciones \[ f,g \in L^1(0,+\infty) \] se cumple:
\[ ||Lf-Lg||_1 \leq C ||f-g||_1 \], donde la norma es la que has puesto en el segundo mensaje.

A ver si esto te ayuda.

Y como se probaría al ser \( Lg \) la suma de una integral y el producto de funciones.

[geómetracat]

¿Qué sabes sobre las funciones \[ c \] y \[ w \]?

Escribe explícitamente la definición de \[ ||Lf-Lg||_1 \] (te queda una integral doble en el primer factor) y mira a ver si puedes acotarla de alguna manera por \[ C||f-g||_1 \].
No lo he hecho, así que no sé si es difícil o no. Pero estoy bastante seguro de que tienen que haber condiciones en \[ c,w \] para que ses cierto.

[gtilef]

¿Qué sabes sobre las funciones \[ c \] y \[ w \]?

Escribe explícitamente la definición de \[ ||Lf-Lg||_1 \] (te queda una integral doble en el primer factor) y mira a ver si puedes acotarla de alguna manera por \[ C||f-g||_1 \].
No lo he hecho, así que no sé si es difícil o no. Pero estoy bastante seguro de que tienen que haber condiciones en \[ c,w \] para que ses cierto.

w está definico como una función exponencial y c(x) como un cociente entre \( k+\epsilon x \) y \( k+x \) con k constante. ¿Como puedo acotar?