[Hauss]

Hola, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Considera los lazos \( \gamma(t)=e^{2i \pi t}, \alpha(t)=e^{-2i \pi t} \) basados en 1. Demostrar que son homotópicos en \( \mathbb{C} \). Demostrar que no son homotópicos en el anillo \( \dfrac{1}{2}<|z|<1 \)

Para la parte de la homotopía en \( \mathbb{C} \), si consideramos la función \( H(s,t)=(1-t)\gamma(s)+t \alpha(s) \) se verifica que los lazos son homotópicos en todo el plano complejo. Con la parte que tengo problema, es con la parte de que no son homotópicos en el anillo que menciona el ejercicio. He pensado ver que son homotópicos en el complemento, pero creo que ese razonamiento no tiene sentido por el punto en el que están basados los lazos, no sé si hacerlo por contradicción seria una buena opción, pero no veo de donde se llegaría a una contradicción. Espero me puedan ayudar, muchas gracias.

[geómetracat]

Pues hay muchas maneras de probarlo, pero depende bastante de los resultados previos que puedas usar.

Como está en el subforo de variable compleja, una manera es usar la versión homotópica del teorema de Cauchy, que dice que si \[ f:U \to \Bbb C \] es holomorfa, con \[ U \subseteq \Bbb C \] abierto, y \[ \gamma_1,\gamma_2 \] son dos curvas homotópicas en \[ U \], entonces \[ \int_{\gamma_1} f = \int_{\gamma_2} f \].

La idea es aplicar esto por ejemplo a la función \[ \frac{1}{z} \], que es holomorfa en el anillo que te dan (pero no en todo \[ \Bbb C \]) y ver que las integrales a las dos curvas son distintas, luego las curvas no pueden ser homótopas.

[Hauss]

Muchas gracias por la ayuda, no se me había ocurrido esa forma de resolverlo.

Nadamas por mera curiosidad, me podrías mencionar algún otro método para demostrar que no son homotópos?

Gracias de antemano.

[geómetracat]

Me acabo de dar cuenta de que el enunciado está mal. Los lazos que te dan están fuera del anillo dado, pues tienen módulo \( 1 \), por lo que no tiene sentido preguntarse si son homótopos en el anillo. Pero vaya, no es muy importante, basta tomar un anillo que contenga al círculo unidad y no al origen.

Nadamas por mera curiosidad, me podrías mencionar algún otro método para demostrar que no son homotópos?

La manera estándar de enfocar estas cosas de caminos homótopos es usar topología algebraica. Un anillo es homotópicamente equivalente a \( S^1 \), y uno de los primeros resultados que se prueban en topología algebraica es que el grupo fundamental de \( S^1 \) es isomorfo a \( \Bbb Z \) y que un representante de la clase que corresponde a \( n \) es \[ e^{2\pi i n} \].

Por otro lado, la primera parte sale de que el grupo fundamental de \[ \Bbb C \] es trivial (cosa que se prueba como has hecho tú, usando una homotopía lineal).

[Hauss]

Muy bien, muchísimas gracias, creo que el otro método que mencionas se sale del alcance de mis cursos, solo queda la prueba mediante el teorema de Cauchy