Autor Tema: Hipótesis del continuo

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05 Enero, 2021, 12:12 am
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Carlos Cao

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Muy buenas noches,

creo que lo primero debe ser una mini-presentación. Mi nombre como podéis ver es Carlos y soy un estudiante de segundo de bachillerato cuya afición son las matemáticas. Bien, hace un tiempo leí sobre la Hipótesis del continuo y me llamó mucho la atención su indemostrabilidad cosa que no me dejó nada contento.
Eso me llevo a darle duro al coco y se me vino una intuición a la cabeza. Es muy sencilla de visualizar: me pregunté qué pasaba si graficaba una aplicación sobre un conjunto numerable y qué pasaba si lo hacía sobre los números reales. Al hacerlo es obvio que el primero dará lugar a puntos aislados mientras que el otro dará lugar a un trazo continuo. Ahora viene mi cuestión: ¿es atacable el problema desde la topología? Me explico, si se pudiera demostrar que la siguiente estructura formada por dos puntos aislados (aproximándolos infinitamente) es el continuo, debería quedar demostrado que no puede haber infinitos intermedios entre ellos ¿no?
Me supongo que la respuesta a la primera pregunta será un "no" pues según leí la topología usa conjuntos.
Otra cuestión a parte pero relacionada con el tema es si los números complejos tienen un cardinal mayor que los reales ya que debería poder aplicarse un argumento similar al corte diagonal de Cantor para la parte imaginaria ¿no?

Estas fueron todas mis preguntas por hoy. Agradecería mucho que alguien me aclarara las dudas para poder dormir tranquilo.  ;D
Un saludo!

05 Enero, 2021, 09:20 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

creo que lo primero debe ser una mini-presentación. Mi nombre como podéis ver es Carlos y soy un estudiante de segundo de bachillerato cuya afición son las matemáticas.

¡Bienvenido al foro!

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Bien, hace un tiempo leí sobre la Hipótesis del continuo y me llamó mucho la atención su indemostrabilidad cosa que no me dejó nada contento.
Eso me llevo a darle duro al coco y se me vino una intuición a la cabeza. Es muy sencilla de visualizar: me pregunté qué pasaba si graficaba una aplicación sobre un conjunto numerable y qué pasaba si lo hacía sobre los números reales. Al hacerlo es obvio que el primero dará lugar a puntos aislados mientras que el otro dará lugar a un trazo continuo.


Cuando dices que graficas una aplicación "sobre" un conjunto numerable y luego sobre los reales, supongo que te refieres a que la primera toma imágenes sobre los naturales (por ejemplo) y la segunda sobre los reales. Es decir técnicamente funciones:

\( f:A\to \Bbb N \) y \( f:A\to \Bbb R \)

¿o bien esa elección de naturales/reales se refiere al dominio \( A \)?.

En cualquier caso, no es cierto que una función sobre los reales tenga gráfica continua. Hay funciones discontinuas en algunos puntos e incluso discontinuas en todo punto, de manera que la gráfica podría ser una nube caótica de puntos.

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Ahora viene mi cuestión: ¿es atacable el problema desde la topología? Me explico, si se pudiera demostrar que la siguiente estructura formada por dos puntos aislados (aproximándolos infinitamente) es el continuo, debería quedar demostrado que no puede haber infinitos intermedios entre ellos ¿no?

Vaya por delante que la cuestión de la hipótesis del continuo (HC) está resuelta en el siguiente sentido: que sea indecidible significa grosso modo que, a los axiomas usuales en los que se basa la teoría de conjuntos (ZF/ZFC) se les puede añadir uno que afirme que la hipótesis del continuo es cierta y el nuevo sistema axiomático es compatible, no da lugar a contradicciones; pero igualmente se les puede añadir uno que afirme que la hipótesis del continuo es falsa y el nuevos sistema axiomático vuelve a ser compatible. De esta forma digamos que podrían hacerse dos "matemáticas" diferentes, unas en las cuáles la HC es cierta y otra en las cuales es falsa.

Esto que puede parecer chocante o desconcertante, en la práctica no es un gran problema; el 99.9999% de los resultados relevantes en matemáticas funcionan independientemente de que uno considere la HC cierta o no.

Por lo demás no sé si hay alguna relación entre la hipótesis del continuo y la topología; de manera sencilla no creo. Supongo que algún resultado bastante técnico y abstracto sobre topologías relacionadas con los infinitos, podría depender de su veracidad o falsedad.

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Otra cuestión a parte pero relacionada con el tema es si los números complejos tienen un cardinal mayor que los reales ya que debería poder aplicarse un argumento similar al corte diagonal de Cantor para la parte imaginaria ¿no?

Pues no, el cardinal de los complejos es el mismo que el de los reales. Fíjate que los complejos a nivel conjuntista es lo mismo que el producto cartesiano \( \Bbb R\times \Bbb R \), donde la primera componente es la parte real y la segunda la imaginaria. Para poder aplicar un argumento similar al corte diagonal de Cantor, necesitarías no solo dos componentes, sino tantas como la cardinalidad de \( \Bbb R \).

Una forma de definir una biyección entre \( \Bbb R^2 \) y \( \Bbb R \) puede ser la siguiente:

Dado un par de números \((x,y)\in \Bbb R^2\) los llevamos en un número que formamos intercalando las cifras de la expresión decimal de uno y otro. Aunque puede escribirse formalmente, doy la idea con unos ejemplos:

(12'42,7'8) lo llevamos en 172'48
(0'435,132'2379) lo llevamos en 103020'42335709
(12,0'32) lo llevamos en 102,0302

 Es fácil ver que es inyectiva porque si alguno de los números iniciales es diferente, automáticamente cambia la cifra correspondiente de la imagen. Y que dado un número real lo puedes separar en uno de \( \Bbb R^2 \) deshaciendo la construcción (separando cifras en posición par en una componente e impar en la otra).

Saludos.

05 Enero, 2021, 12:51 pm
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Vaya por delante que la cuestión de la hipótesis del continuo (HC) está resuelta en el siguiente sentido: que sea indecidible significa grosso modo que, a los axiomas usuales en los que se basa la teoría de conjuntos (ZF/ZFC) se les puede añadir uno que afirme que la hipótesis del continuo es cierta y el nuevo sistema axiomático es compatible, no da lugar a contradicciones; pero igualmente se les puede añadir uno que afirme que la hipótesis del continuo es falsa y el nuevos sistema axiomático vuelve a ser compatible. De esta forma digamos que podrían hacerse dos "matemáticas" diferentes, unas en las cuáles la HC es cierta y otra en las cuales es falsa.

Añado algo a lo que te ha respondido Luis por tratar de hacer la situación más "tangible". Se conoce una "demostración incompleta" que, a partir de los axioma de la teoría de conjuntos demuestra que \( 2+2=5 \). Incompleta quiere decir que es como un puzzle al que le falta una pieza, y esa pieza es precisamente una demostración de la hipótesis del continuo. Si pudieras demostrar la hipótesis del continuo a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, no importa cómo lo hicieras, tu demostración sería la pieza que le falta a la demostración que te digo. Al añadirla, tendrías una prueba completa y rigurosa (tan rigurosa como sea tu demostración, porque el resto ya conocido es totalmente riguoroso) de que \( 2+2=5 \).

E igualmente se conoce otra demostración incompleta de que \( 2+2=5 \) a la que la pieza que le falta para estar completa es una demostración de la negación de la hipótesis del continuo.

Esto significa que si tus propuestas para demostrar (o refutar) la hipótesis del continuo pudieran funcionar, si llegaras a concretarlas en una demostración de la hipótesis del continuo (o de su negación), con ello no sólo habrías demostrado (o refutado) la hipótesis del continuo, sino que podrías presumir de haber demostrado con todo rigor que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos (el resto de la prueba ya la han hecho otros por ti, pero lo único que falta hasta hora es que tú añadas la pieza que falta).

Te lo digo así de personalizadamente para tratar de que te impacte lo que supondría en la práctica demostrar (o refutar) la hipótesis del continuo. No habrías probado meramente una cuestión técnica que sólo le importa a unos pocos matemáticos. Habrías demostrado que \( 2+2=5 \).

A este respecto, quizá convenga aclarar que las afirmaciones siguientes no son equivalentes:

1) \( 2+2\neq 5 \).

2) No se puede demostrar que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

La afirmación 1) es cierta y se puede demostrar fácilmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

En cambio, la afirmción 2), probablemente es cierta, pero si lo es, es indemostrable. Nadie puede dar un argumento matemático riguroso y convincente de que no sea posible llenar un papel de garabatos que acaben demostrando que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. Esto también está demostrado.

Por lo demás no sé si hay alguna relación entre la hipótesis del continuo y la topología; de manera sencilla no creo. Supongo que algún resultado bastante técnico y abstracto sobre topologías relacionadas con los infinitos, podría depender de su veracidad o falsedad.

El concepto de "sencillez" es relativo, por supuesto, pero a ver si estos ejemplos te parecen "sencillos":

  • Un espacio topológico cumple la condición de cadena numerable si en él toda familia de abiertos disjuntos es numerable.

    ¿El producto de dos espacios topológicos (compactos de Hausdorff, si quieres) con la condición de cadena numerable cumple la condición de cadena numerable?

    Si supones la hipótesis del continuo es posible construir un contraejemplo, pero también es consistente que la respuesta sea afirmativa y no haya contraejemplos.

  • Considera un conjunto de cardinal \( \aleph_1 \) con la topología cofinita. ¿Es arcoconexo?

    La hipótesis del continuo implica que sí, pero sin ella la respuesta puede ser negativa.

  • Sea \( X \) el producto de \( \aleph_1 \) copias del espacio discreto \( \{0, 1\} \), o del intervalo \( [0,1] \) con la topología usual. ¿Es \( X \) sucesionalmente compacto?, es decir, ¿toda sucesión en \( X \) tiene una subsucesión convergente?

    La hipótesis del continuo implica que no, pero sin ella puede ser que sí.

    Si admitimos "teoría de la medida" tenemos también:

  • ¿Se puede extender la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de \( \mathbb R \) (o de \( \mathbb R^n \))?

    Con la hipótesis del continuo, la respuesta es negativa, pero con axiomas alternativos se puede demostrar que sí (sin negar el axioma de elección).

  • ¿Un subconjunto de \( \mathbb R \) de cardinal \( \aleph_1 \) es necesariamente medible Lebesgue? ¿es necesariamente nulo?

    Con la hipótesis del continuo la respuesta es que no, pero sin ella es posible que sí.

05 Enero, 2021, 01:47 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 La verdad es que todo esto es bastante sutil y desoncertante...

Añado algo a lo que te ha respondido Luis por tratar de hacer la situación más "tangible". Se conoce una "demostración incompleta" que, a partir de los axioma de la teoría de conjuntos demuestra que \( 2+2=5 \). Incompleta quiere decir que es como un puzzle al que le falta una pieza, y esa pieza es precisamente una demostración de la hipótesis del continuo. Si pudieras demostrar la hipótesis del continuo a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, no importa cómo lo hicieras, tu demostración sería la pieza que le falta a la demostración que te digo. Al añadirla, tendrías una prueba completa y rigurosa (tan rigurosa como sea tu demostración, porque el resto ya conocido es totalmente riguoroso) de que \( 2+2=5 \).

E igualmente se conoce otra demostración incompleta de que \( 2+2=5 \) a la que la pieza que le falta para estar completa es una demostración de la negación de la hipótesis del continuo.

 Varias cosas que no tengo 100% claras (ni 50% algunas  :P) al respecto.

 1) Se puede añadir a ZFC la hipótesis del continuo y se tiene un sistema axiomático consistente. ¿No? (*)
 2) Se puede añadir al ZFC axiomas que "metan" otros cardinales entre los numerables y los reales e igualmente tener un sistema axiomático consistente. ¿No?. (*)
 3) Sin embargo y por lo que has escrito, entiendo que añadir como hipótesis la del continuo o que no se cumpla, es diferente de "demostrar la hipótesis del continuo a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos", porque por lo que acabas de decir en ese caso, se probaría \( 2+2=5 \). ¿No sería entonces ZFC un sistema no consistente, al ser cierto al mismo tiempo \( 2+2=5 \) y \( 2+2\neq 5 \)?.
 4) Insisto en la idea de (3). Entonces la pieza que falta en ese puzle, no es que la afirmación de la hipótesis del continuo sea cierta sino su demostración a partir de la teoría de conjuntos. Si es así, me cuesta entender plenamente la diferencia.

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1) \( 2+2\neq 5 \).

2) No se puede demostrar que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

La afirmación 1) es cierta y se puede demostrar fácilmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.

En cambio, la afirmción 2), probablemente es cierta, pero si lo es, es indemostrable. Nadie puede dar un argumento matemático riguroso y convincente de que no sea posible llenar un papel de garabatos que acaben demostrando que \( 2+2=5 \) a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. Esto también está demostrado.

 5) Un poco más de lo mismo. Si se pudiera demostrar que \( 2+2=5 \), entonces ZFC no sería consistente. Acabo de leer un poco sobre el asunto y veo que mi problema es que tenía el prejuicio de que ZFZ es consistente; y por lo visto está abierta la posibilidad de que no lo sea. ¿No?. Esto abre más dudas aún sobre mis "¿no?" de arriba marcados con asterisco.

 5bis) Con eso que he leído, me pregunto. ¿Es precisamente la hipótesis del continuo el único problema para la consistencia de ZFC?. Es decir ¿ZFC+hipótesis del continuo SI es consistente?

 6) Me llama la atención el probablemente es cierta. Si no se puede demostrar que sea imposible llegar a \( 2+2=5 \), ¿qué sentido tiene plantearse si la afirmación es cierta o no si no puede demostrarse? Y más aún, ¿qué sentido se le puede dar ahí a "probablemente"?.

Saludos.

P.D. En cuanto a los ejemplos en topología, no son tan raros como pensaba a priori; no obstante a nivel de un alumno de bachillerato, si creo que se escapan bastante...

05 Enero, 2021, 03:21 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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La verdad es que todo esto es bastante sutil y desoncertante...

Porque nunca has querido meterte en ello.

1) Se puede añadir a ZFC la hipótesis del continuo y se tiene un sistema axiomático consistente. ¿No?

Sí, sí. Todo lo que has dicho en tu mensaje anterior es exacto.

2) Se puede añadir al ZFC axiomas que "metan" otros cardinales entre los numerables y los reales e igualmente tener un sistema axiomático consistente. ¿No?.

Cierto.

Edito: Al releer el mensaje me doy cuenta de que este "cierto", al igual que mi frase anterior, en la que digo que todo lo que habías dicho es exacto, son capciosas en el contexto de este mensaje. Sucede que es habitual decir que cosas como es cierto que ZFC más la hipótesis del continuo es consistente, pero en este tipo de afirmaciones siempre se da por supuesta la hipótesis tácita de que ZFC es consistente. Se da por supuesta porque sin ella no es posible probar nada. Pero, dado que más abajo estamos hablando justo de esto, aquí no tendría que haberte dicho "cierto", sino más bien, "cierto bajo el supuesto tácito de que ZFC es consistente". Porque podría ser que ZFC fuera contradictorio, y entonces también serían contradictorios ZFC más la hipótesis del continuo o más su negación o más cualquier cosa.

3) Sin embargo y por lo que has escrito, entiendo que añadir como hipótesis la del continuo o que no se cumpla, es diferente de "demostrar la hipótesis del continuo a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos", porque por lo que acabas de decir en ese caso, se probaría \( 2+2=5 \). ¿No sería entonces ZFC un sistema no consistente, al ser cierto al mismo tiempo \( 2+2=5 \) y \( 2+2\neq 5 \)?.

Efectivamente, estás afinando a la perfección. No había querido entrar en la sutileza que estás señalando acertadamente precisamente por eso, porque era demasiado sutil y no afectaba a la idea que quería transmitir. Lo que estás diciendo es que el "hueco" que le queda a la demostración de la que hablo no es meramente "contar con la hipótesis del continuo", porque entonces pasaría lo que dices, que la hipótesis del continuo llevaría a una contradicción. El hueco no se rellena con la hipótesis del continuo, sino con una demostración de la hipótesis del continuo.

Te detallo más la idea. Es un poco más sencillo si consideramos la posibilidad de que alguien demuestre la negación de la hipótesis del continuo (la segunda demostración incompleta de la que hablaba). La situación es la siguiente:

Se pueden definir unos conjuntos llamados "conjuntos constructibles" (no importa lo que son concretamente). La clase de todos los conjuntos constructibles se llama normalmente \( L \).

En ZFC no se puede demostrar la hipótesis del continuo HC, pero sí que se puede demostrar \( \mbox{HC}^L \). Esto significa que la hipótesis del continuo es verdadera en \( L \), es decir, que si sólo nos fijamos en los conjuntos constructibles, entonces sí que se cumple la hipótesis del continuo. Eso es un teorema de ZFC. En otras palabras: si un matemático se pone unas "gafas constructibles", unas gafas que sólo le dejen ver los conjuntos constructibles, entonces verá que \( \mathbb R \) tiene cardinal \( \aleph_1 \).

Por otra parte, si alguien pudiera demostrar \( \lnot \mbox{HC} \) en ZFC, es pura rutina convertir esa demostración en una demostración en ZFC de \( \lnot\mbox{HC}^L \).

La idea es que si uno se pone sus "gafas constructibles", sigue viendo que todos los axiomas de ZFC se cumplen. Los conjuntos constructibles cumplen todos los axiomas de ZFC, luego si alguien puede demostrar a partir de los axiomas de ZFC que \( \mathbb R \) no tiene cardinal \( \aleph_1 \), alguien con "gafas constructibles" tendría que aceptar esa demostración y convencerse de que el cardinal de \( \mathbb R \) no es \( \aleph_1 \), incluso viendo sólo conjuntos constructibles.

En definitiva: a partir de una demostración de  \( \lnot \mbox{HC} \) en ZFC, podemos obtener algorítmicamente una demostración de \( \lnot\mbox{HC}^L \) en ZFC, que, combinada con la demostración existente de \( \mbox{HC}^L \) en ZFC, nos daría que ZFC es contradictorio y, en particular, podríamos demostrar que \( 2+2=5 \).

La situación es, pues, la que trataba de transmitir: que está todo dispuesto para que, si alguien aporta una prueba de \( \lnot \mbox{HC} \) en ZFC, se pueda completar mecánicamente —en teoría un ordenador podría hacerlo sin aportar ninguna idea inteligente que dependiera del argumento que refuta la hipótesis del continuo— el argumento que probaría la contradicción \( \mbox{HC}^L \) y \( \lnot\mbox{HC}^L \)  en ZFC.

Si partimos de una demostración de la hipótesis del continuo (no de su negación) la situación es similar, sólo que el equivalente a la clase \( L \) es un poco más técnico de describir.

4) Insisto en la idea de (3). Entonces la pieza que falta en ese puzle, no es que la afirmación de la hipótesis del continuo sea cierta sino su demostración a partir de la teoría de conjuntos. Si es así, me cuesta entender plenamente la diferencia.

Sí, así es exactamente, y la diferencia es que necesitamos, no la mera afirmación de la negación de la hipótesis del continuo (por seguir con el caso que he detallado), sino una demostración de dicha negación para convertirla en una demostración de que la hipótesis del continuo es falsa en \( L \).

Si meramente supones la negación de la hipótesis del continuo no llegas a ninguna contradicción. Llegas a que si sólo miras en \( L \) ves que se cumple la HC, pero si miras todos los conjuntos, ves que no se cumple. Si contamos con una demostración de la negación de la hipótesis del continuo llegamos a que ésta se cumple y no se cumple en \( L \), y eso sí que es una contradicción.

En otras palabras: \( \lnot \mbox{HC} \) no "entra" en \( L \), puedes tenerla fuera de \( L \) sin contradicción, pero una demostración de \( \lnot \mbox{HC} \) "sí que entra" en \( L \), te lleva a concuir que la hipótesis del continuo es falsa en \( L \) y eso sí que es una contradicción.

5) Un poco más de lo mismo. Si se pudiera demostrar que \( 2+2=5 \), entonces ZFC no sería consistente. Acabo de leer un poco sobre el asunto y veo que mi problema es que tenía el prejuicio de que ZFC es consistente; y por lo visto está abierta la posibilidad de que no lo sea. ¿No?.

Efectivamente. Puestos a detallar las sutilezas, lo que puede probarse es lo siguiente: en general, el teorema de incompletitud de Gödel afirma que no es posible demostrar la consistencia de una teoría en esa misma teoría. Así, por ejemplo, no es posible demostrar la consistencia de los axiomas de Peano meramente a partir de los axiomas de Peano, pero eso no impide que la consistencia de los axiomas de Peano sea poco menos que trivialmente demostrable en ZFC (que es una teoría más potente que la que resulta de suponer meramente los axiomas de Peano).

Ahora bien, en el caso de ZFC, lo que tenemos es que no es posible demostrar la consistencia de ZFC de modo que sea formalizable en ZFC. ¿Deja esto abierto algún resquicio a que pudiera demostrarse de algún modo la consistencia de ZFC?

Aquí ya es un poco más delicado responder que no (y esto estaba implícito en mi respuesta anterior). La idea es que ZFC es una teoría más que suficiente para formalizar cualquier argumento matemático que resulte  "convincente" para cualquier matemático (y muchos sobre los que se podría dudar, como "la paradoja de Banach-Tarski", etc. Por lo tanto, si realmente alguien pudiera dar un argumento que, cualquiera que fuera su naturaleza, realmente pudiera convencer a alguien de que ZFC es consistente, es razonable afirmar que dicha demostración sería formalizable en ZFC, y entonces tendríamos una contradicción en ZFC por el teorema de incompletitud.

El único "resquicio" sería, pues, que alguien aspirara a encontrar una prueba de la consistencia de ZFC que a la vez:

1) convenciera a cualquier matemático de que la conclusión es cierta.

2) por algún extraño motivo, no fuera formalizable en ZFC.

Yo creo que esto es descartable, pero alguien dispuesto a llevar el escepticismo hasta el extremo, podría acantonarse en que eso es una posibilidad.

Desde luego, puedes demostrar la consistencia de ZFC suponiendo hipótesis que nadie tomará como "concluyentes". Por ejemplo, en ZFC más la hipótesis de que exista un cardinal inaccesible, se puede demostrar que ZFC es consistente, pero, claro, una prueba de la consistencia de ZFC que supone la existencia de un cardinal raro, que sólo puede definirse dentro de la propia ZFC (aunque no pueda probarse su existencia) no convence a nadie de que ZFC sea consistente realmente, y no es raro que dicha prueba no pueda formalizarse sólo en ZFC, porque no es posible convencer a nadie de que existe un cardinal inaccesible.

5bis) Con eso que he leído, me pregunto. ¿Es precisamente la hipótesis del continuo el único problema para la consistencia de ZFC?. Es decir ¿ZFC+hipótesis del continuo SI es consistente?

No, no. Eso es trivialmente falso. Si en ZFC más la hipótesis del continuo fuera consistente, trivialmente lo sería ZFC. Si no puedes probar ninguna contradicción suponiendo la hipótesis del continuo, entonces, obviamente, tampoco puedes demostrar ninguna contradicción sin suponerla, porque una demostración de una contradicción en ZFC también sería una demostración de una contradicción en ZFC + HC, pues nadie te obliga a usar un axioma en una prueba.

Lo que sí que puedes probar es que si ZFC es consistente, entonces ZFC + HC es consistente, así como que ZFC + \( \lnot \mbox{HC} \) es consistente. Pero todas estas pruebas son relativas a la consistencia de ZFC, que no es demostrable.

Edito: Me había sorprendido tu afirmación, pero ahora veo que la culpa era mía, por lo que he aclarado en mi edición más arriba. Cuando antes te había dicho que ZFC + HC es consistente, estaba dando por hecha la hipótesis de que ZFC es consistente. Si ZFC fuera contradictorio, trivialmente lo sería ZFC + HC, por eso es una precisión que se suele omitir.

6) Me llama la atención el probablemente es cierta. Si no se puede demostrar que sea imposible llegar a \( 2+2=5 \), ¿qué sentido tiene plantearse si la afirmación es cierta o no si no puede demostrarse? Y más aún, ¿qué sentido se le puede dar ahí a "probablemente"?.

Desde luego, ningún sentido relacionado con la estadística. Una interpretación posible es que, en el caso en que alguien te ofreciera un millón de euros a cambio de que te comprometieras a que si alguien encuentra una demostración rigurosa y no cuestionada por la comunidad matemática de que ZFC es contradictorio, te tirarías al vacío desde un décimo piso, mi consejo sería que aceptaras la oferta. Yo la aceptaría.

Quiere decir que el conocimiento que tenemos de ZFC y de su comportamiento hacen razonable pensar que no hay motivo para sospechar que pueda ser contradictorio. El hecho de que no se pueda demostrar su consistencia no debe hacernos recelar de que, después de todo, podría ser contradictorio, sino que es así porque no puede ser de otra manera: es imposible demostrar convincentemente la consistencia de cualquier teoría capaz de formalizar cualquier razonamiento que sea convincente para los matemáticos, luego el hecho de que sea así no apunta a que una teoría así tenga que ser necesariamente contradictoria. En cierto sentido, podría decirse que la indemostrabilidad de su consistencia es una confirmación de su potencia, de que ZFC es ciertamente lo que necesitamos. Una teoría cuya consistencia pudiera demostrarse "convincentemente" demostraría con ello que no es capaz de formalizar cualquier argumento "convincente" (pues sin duda el argumento de su consistencia no sería formalizable en ella), por lo que no sería lo que los matemáticos necesitan.

Cuando intentas demostrar algo y ves que no puedes, es razonable sospechar que lo que intentas demostrar es falso, pero si resulta que sabes que lo que quieres demostrar no puede probarse debido a un argumento general aplicable a cualquier teoría matemática suficientemente potente, no hay razón para pensar que toda teoría matemática suficientemente potente es necesariamente contradictoria. Y si una en concreto, como ZFC, funciona correctamente, la probabilidad de que sea contradictoria está —al menos a mi juicio— al mismo nivel que las teorías que afirman que toda la ciencia podría ser mentira y que todas las leyes que se han comprobado experimentalmente hasta ahora podrían haberse cumplido hasta hoy por casualidad. Nadie puede decir que no sea así, pero...

En cualquier caso, quiero dejar claro que afirmar "estoy convencido de que ZFC es consistente aunque no pueda probarse" es una afirmación subjetiva que no puede justificarse objetivamente de ningún modo. También es cierto que no se trata sólo de "mi opinión", sino que no es raro que especialistas en teoría de conjuntos afirmen abiertamente (y sabiendo perfectamente la existencia del teorema de incompletitud y sus consecuencias) que ZFC es indudablemente consistente, pese a que no pueda probarse.

P.D. En cuanto a los ejemplos en topología, no son tan raros como pensaba a priori; no obstante a nivel de un alumno de bachillerato, si creo que se escapan bastante...

Sí, esa parte de mi respuesta era para ti, pensando en la posibilidad de que cuando hablabas de "sencillo", "técnico", "abstracto", estuvieras refiriéndote a tu propio criterio, y no de un criterio relativo a un estudiante de bachillerato.

Un ejemplo curioso de hasta dónde puede filtrarse la hipótesis del continuo es este enunciado:

Sea \( f:[0,1]\times [0,1]\longrightarrow [0,1] \) una función que cumpla:

  • Las funciones \( x\mapsto f(x, y) \), \( y\mapsto f(x, y) \) son medibles para casi todo \( y \), \( x\in [0,1] \), respectivamente.
  • Las funciones
    \( \displaystyle x\mapsto \int_0^1f(x, y)\,dy \),  \( \displaystyle y\mapsto \int_0^1f(x, y)\,dx \)
    son medibles.
Entonces

\( \displaystyle \int_0^1\left(\int_0^1f(x, y)\,dy\right)dx=\int_0^1\left(\int_0^1f(x, y)\,dx\right)\,dy \).

Si añades la hipótesis de que la función \( f \) sea integrable Lebesgue (que es equivalente a que sea medible, al ser positiva y acotada), se trata de un caso particular del teorema de Fubini, pero sin esa hipótesis no es demostrable ni refutable en ZFC. Concretamente, la hipótesis del continuo permite construir un contraejemplo, pero axiomas alternativos permiten demostrarla (es decir, prueban que no hay contraejemplos).

05 Enero, 2021, 08:12 pm
Respuesta #5

Carlos Cao

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Cuando dices que graficas una aplicación "sobre" un conjunto numerable y luego sobre los reales, supongo que te refieres a que la primera toma imágenes sobre los naturales (por ejemplo) y la segunda sobre los reales. Es decir técnicamente funciones:

\( f:A\to \Bbb N \) y \( f:A\to \Bbb R \)
Sí, efectivamente me refería a eso. Solo me queda agradeceros a los 2 las respuestas y meditar sobre ellas en lo que aprendo más del tema.
Muchas gracias y, un saludo!

10 Enero, 2021, 09:02 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Edito: Al releer el mensaje me doy cuenta de que este "cierto", al igual que mi frase anterior, en la que digo que todo lo que habías dicho es exacto, son capciosas en el contexto de este mensaje. Sucede que es habitual decir que cosas como es cierto que ZFC más la hipótesis del continuo es consistente, pero en este tipo de afirmaciones siempre se da por supuesta la hipótesis tácita de que ZFC es consistente. Se da por supuesta porque sin ella no es posible probar nada. Pero, dado que más abajo estamos hablando justo de esto, aquí no tendría que haberte dicho "cierto", sino más bien, "cierto bajo el supuesto tácito de que ZFC es consistente". Porque podría ser que ZFC fuera contradictorio, y entonces también serían contradictorios ZFC más la hipótesis del continuo o más su negación o más cualquier cosa.

Ok. Entiendo.

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Quiere decir que el conocimiento que tenemos de ZFC y de su comportamiento hacen razonable pensar que no hay motivo para sospechar que pueda ser contradictorio. El hecho de que no se pueda demostrar su consistencia no debe hacernos recelar de que, después de todo, podría ser contradictorio, sino que es así porque no puede ser de otra manera: es imposible demostrar convincentemente la consistencia de cualquier teoría capaz de formalizar cualquier razonamiento que sea convincente para los matemáticos, luego el hecho de que sea así no apunta a que una teoría así tenga que ser necesariamente contradictoria. En cierto sentido, podría decirse que la indemostrabilidad de su consistencia es una confirmación de su potencia, de que ZFC es ciertamente lo que necesitamos. Una teoría cuya consistencia pudiera demostrarse "convincentemente" demostraría con ello que no es capaz de formalizar cualquier argumento "convincente" (pues sin duda el argumento de su consistencia no sería formalizable en ella), por lo que no sería lo que los matemáticos necesitan.

Cuando intentas demostrar algo y ves que no puedes, es razonable sospechar que lo que intentas demostrar es falso, pero si resulta que sabes que lo que quieres demostrar no puede probarse debido a un argumento general aplicable a cualquier teoría matemática suficientemente potente, no hay razón para pensar que toda teoría matemática suficientemente potente es necesariamente contradictoria. Y si una en concreto, como ZFC, funciona correctamente, la probabilidad de que sea contradictoria está —al menos a mi juicio— al mismo nivel que las teorías que afirman que toda la ciencia podría ser mentira y que todas las leyes que se han comprobado experimentalmente hasta ahora podrían haberse cumplido hasta hoy por casualidad. Nadie puede decir que no sea así, pero...

De acuerdo.

Gracias.

Saludos.