[mg]

Hola. Quiero hacer este ejercicio

Sea \( (X,M, µ) \) un espacio de medida tal que \( µ(X) = 1 \). Supongamos que \(  T : X → X  \) es medible y \( µ(T^{−1}(E)) = µ(E) \) para todo \( E ∈ M \). Probar que:
(1) Para todo \( E ∈ M \) tal que \( µ(E) > 0 \) existe un \( n \) natural tal que \( µ(E ∩T^n(E)) > 0 \). Aquí \( T^0  \)es la aplicación identidad en \( X \) y \( T^n = T\circ{}T^{n−1}  \) para \( n ≥ 1 \).
(2) Para todo conjunto \( E  \) el conjunto de los puntos para los que existe un natural \( n_0 \) tal que \( T^n(x)\not\in E  \) para todo \( n ≥ n_0  \) tiene medida \( 0 \).

Empezando por el apartado 1) estaba pensando que de algún modo se podría descomponer la función \( T^n \) y que finalmente debería quedarme que \( \mu(E\cap{}T^n(E)) \) debe ser \( \mu(E\cap{}E)>0 \). Aunque también sin ir más lejos pensé que para n=0 es trivial que se verifica, aunque me gustaría verlo para \( n>0 \). Estoy un poco perdido, por que no se que puedo aplicar a la función medida, o como funciona la intersección en la función medida. En fin, cualquier ayuda es buena.

Un saludo

[Masacroso]

Me parece que el ejercicio no está bien formulado, ¿no debería ser \( \mu(E\cap T^{-n}(E)) \)? De otro modo, ¿cómo sabemos que \( T^n(E) \) es medible? Asumiendo ese cambio tenemos que si \( E\cap T^{-n}(E) \) es nulo para todo \( n\geqslant 1 \) entonces también lo es \( T^{-1}(E\cap T^{-n}(E))=T^{-1}(E)\cap T^{-{\color{red}{(n+1)}}}(E) \), iterando vemos que todos los conjuntos \( T^{-n}(E) \) son esencialmente disjuntos, lo cual es imposible ya que entonces la medida del espacio no sería finita.

En la segunda parte te piden verificar que \( \mu(\liminf_{n\to\infty}T^{-n}(E^\complement ))=0 \) para todo \( E \) medible, lo cual es imposible si tomamos \( E=\emptyset  \), así que imagino que será para todos los conjuntos medibles \( E \) de medida positiva. Ahora observa que

\( \displaystyle{
\liminf_{n\to\infty}T^{-n}(E^\complement )=\bigcup_{n\geqslant 0}\bigcap_{k\geqslant n}T^{-n}(E^\complement) =\left(\bigcap_{n\geqslant 0}\bigcup_{k\geqslant n}T^{-n}(E)\right)^\complement =(\limsup_{n\to\infty}T^{-n}(E))^\complement
} \)

Por tanto lo que hay que demostrar es equivalente a mostrar que \( \mu(\limsup_{n\to\infty}T^{-n}(E))=1 \) para todo \( E \) medible de medida positiva. Ahora mismo no veo manera de proceder (no veo como utilizar, por ejemplo, el segundo lema de Borel-Cantelli para llegar a la conclusión), si más tarde se me ocurre algo sigo.

Corrección.

[geómetracat]

En el 2 hay algo raro, al margen de lo que dice Masacroso. Si por ejemplo tomamos como \( T \) la identidad el conjunto que te dan en 2 tiene medida \( 1-\mu(E) \), que no tiene por qué ser cero. Revisa el enunciado.

[mg]

\( T^{-1}(E\cap T^{-n}(E))=T^{-1}(E)\cap T^{-n}(E) \)

Entonces \(  T^{-1}(T^{-n}(E))= T^{-n}(E) \)? Yo diría que como

Sea \(  Aquí [tex]T^0  \)es la aplicación identidad en \( X \) y \( T^n = T\circ{}T^{n−1}  \) para \( n ≥ 1 \).

Sería \( T^{-1}(E\cap T^{-n}(E))=T^{-n-1} \). Aunque creo que no tendría mucho sentido esto, y habría que arreglar esta propiedad \( T^n = T\circ{}T^{n−1}  \).

Aparte de eso, dado por cierto lo que dices, la cosa sería que al final de las iteraciones te quedarías con que \( T^{-n}(E)\cap T^{-n}(E)=T^{-n}(E) \) es nulo, y eso no puede ser cierto porque, aunque no lo digas, supones que \( E\neq \emptyset \)

[Masacroso]

Sería \( T^{-1}(E\cap T^{-n}(E))=T^{-n-1} \).

Sí, poner \( -n \) otra vez ha sido un gazapo, ahora lo edito arriba.

Aunque creo que no tendría mucho sentido esto, y habría que arreglar esta propiedad \( T^n = T\circ{}T^{n−1}  \).

No sigo lo que dices del sentido, ¿qué es lo que no tendría mucho sentido? Observa que \( f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \) para cualesquiera conjuntos \( A,B \) y función \( f \).

Aparte de eso, dado por cierto lo que dices, la cosa sería que al final de las iteraciones te quedarías con que \( T^{-n}(E)\cap T^{-n}(E)=T^{-n}(E) \) es nulo, y eso no puede ser cierto porque, aunque no lo digas, supones que \( E\neq \emptyset \)

He supuesto que \( n\geqslant 1 \) siempre, lo que no nos deja ese caso que dices, siempre tendremos casos de la forma \( T^{-k}(E)\cap T^{-j}(E) \) para todo \( j\neq k \) y \( j,k\geqslant 0 \).

[mg]

He supuesto que \( n\geqslant 1 \) siempre, lo que no nos deja ese caso que dices, siempre tendremos casos de la forma \( T^{-k}(E)\cap T^{-j}(E) \) para todo \( j\neq k \) y \( j,k\geqslant 0 \).

Vale, okey.

Me parece que el ejercicio no está bien formulado.

Este profesor tiene fama de proponer algunos ejercicios irresolubles, asi que no es de extrañar.

Asumiendo ese cambio tenemos que si \( E\cap T^{-n}(E) \) es nulo para todo \( n\geqslant 1 \) entonces también lo es \( T^{-1}(E\cap T^{-n}(E))=T^{-1}(E)\cap T^{-{\color{red}{(n+1)}}}(E) \), iterando vemos que todos los conjuntos \( T^{-n}(E) \) son esencialmente disjuntos, lo cual es imposible ya que entonces la medida del espacio no sería finita.

No veo el porque que esos conjuntos sean disjuntos implicaría que la medida del espacio no fuera finita.

Muchas gracias por responder.

[Masacroso]

No veo el porque que esos conjuntos sean disjuntos implicaría que la medida del espacio no fuera finita.

No son necesariamente disjuntos, pero sí esencialmente disjuntos, lo que significa que

\( \displaystyle{
\mu(T^{-j}(E)\cup T^{-k}(E))=\mu(T^{-j}(E))+\mu(T^{-k}(E))-\mu(T^{-j}(E)\cap T^{-k}(E))=\mu(T^{-j}(E))+\mu(T^{-k}(E))
} \)

De ahí se sigue por inducción en \( n \) que

\( \displaystyle{
\mu\left(\bigcup_{k=0}^nT^{-k}(E)\right)=\sum_{k=0}^n \mu(T^{-k}(E)),\quad \forall n\in \mathbb{N}
} \)

Y por tanto

\( \displaystyle{
\mu(X)\geqslant \mu\left(\bigcup_{n\geqslant 0}T^{-n}(E)\right)=\lim_{m\to\infty} \mu\left(\bigcup_{n=0}^mT^{-n}(E)\right)=\sum_{n\geqslant 0}\mu(T^{-n}(E))=\sum_{n\geqslant 0}\mu(E)=\infty
} \)

si \( \mu(E)>0 \).

[Carlos Ivorra]

Sea \( (X,M, µ) \) un espacio de medida tal que \( µ(X) = 1 \). Supongamos que \(  T : X → X  \) es medible y \( µ(T^{−1}(E)) = µ(E) \) para todo \( E ∈ M \). Probar que:
(1) Para todo \( E ∈ M \) tal que \( µ(E) > 0 \) existe un \( n \) natural tal que \( µ(E ∩T^n(E)) > 0 \). Aquí \( T^0  \)es la aplicación identidad en \( X \) y \( T^n = T\circ{}T^{n−1}  \) para \( n ≥ 1 \).

Esto es falso, salvo que admitamos el caso trivial \( n=0 \). Basta tomar \( X=\mathbb R \) con la medida de Lebesgue, \( T:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por \( T(x)=x+1 \) y \( E=[0, 1[ \).

Entonces \( T^n(E)=[n,n+1[ \), luego \( T^n(E)\cap E=\emptyset \) salvo si \( n=0 \).

Edito: Mi ejemplo no sirve, porque no cumple la condición \( \mu(X)=1 \). Tal vez ahí esté la clave. pensaré en ello.

(2) Para todo conjunto \( E  \) el conjunto de los puntos para los que existe un natural \( n_0 \) tal que \( T^n(x)\not\in E  \) para todo \( n ≥ n_0  \) tiene medida \( 0 \).

Esto también es falso, como ya ha señalado geómetracat.