Hola
Gracias por su ayuda pero tengo una duda en su respuesta quien es el vector \( \begin{pmatrix}{p}\\{q}\\{r}\end{pmatrix} \)
Esas coordenadas \( (p,q,r) \) es la imagen del origen de coordenadas. Pero digamos que eso no es relevante a efectos de cálculo. Simplemente imponiendo las condiciones que te indicado tienes ecuaciones para hallar todas las incógnitas: la matriz \( T \) y los valores de \( p,q,r \).
, quien es \( {t} \)
Fue una errata, perdona. Debería de ser un uno.
y como puede obligar que el vector director de la recta \( AP \) al mutliplicarlo por la matriz \( T \) se transforme en un múltiplo de un vector director de \( BQ \).
Pues tu escoges el múltiplo de te de la gana. Es decir escoges un vector \( \vec u \) director de \( AP \) un vector \( \vec v \) director de \( BQ \) e impones \( T\vec u=\vec v. \)
En concreto si tomas la matriz \( M \) cuyas columnas son los vectores \( \vec A_1A_2,\vec A_1A_3,\vec u \) y otra \( N \) cuyas columnas son los vectores \( \vec B_1B_2,\vec B_1B_3,\vec v \) entonces tiene que cumplirse que: \( TM=N \) y por tanto \( T=M^{-1}N \).
Después \( (p,q,t)^t=B_1^t-TA_1^t \).
Esto funciona siempre que los puntos dados estén en posición general; pudiera ser que los puntos estuviesen en posiciones especiales (colineales y cosas así) que hiciesen que el problema no tuviese solución o más soluciones. Eso en las cuentas anteriores se reflejaría en el hecho de que las matrices \( M \) y \( N \) no fuesen inversibles. En ese caso la condición para que tuviese solución es que fuesen equivalentes por filas.
Y en caso que la transformación deba ser isométrica, habría alguna solución?
Pues la solución (si existe) es casi la misma pero escogiendo los vectores \( \vec u \) y \( \vec v \) con la misma norma.
Pero para que la solución (en el caso de isometría) exista los datos tienen que conservar las distancias, es decir, \( d(A_1,A_2)=d(B_1,B_2) \), \( d(A_1,A_3)=d(B_1,B_3) \) y \( d(A_2,A_3)=d(B_2,B_3) \).
Saludos.
