Autor Tema: Existencia de función holomorfa y suprayectiva.

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23 Diciembre, 2020, 08:46 pm
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Hauss

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Hola, tengo la siguiente duda:

¿Existe una función \( f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{C} \) que sea holomorfa y suprayectiva?

Esto nos lo ha mencionado mi profesor cuando nos estaba presentando el grupo de automorfismos del disco unitario, él dijo que no era posible la existencia de tal función, pero a mi no me ha quedado claro ¿por qué?, lo he pensado bastante y no logro ver cual es el motivo de que no exista tal función. Desde el punto de vista topológico creo que lo que se puede ver es que no hay una continua que haga eso (creo), por el hecho de que las continuas mandan compactos en compactos y el disco es compacto, pero la holomorfia de la función es a mi parecer un poco más fuerte que la continuidad.

Le agradecería mucho su ayuda para aclararme esta duda y de antemano, gracias.



23 Diciembre, 2020, 09:30 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Si el disco es cerrado no, por el argumento que das. Como no existe ninguna función continua que haga lo que quieres, mucho menos existirá una holomorfa (pues holomorfa implica continua).

Si el disco es abierto, la respuesta es sí. Por ejemplo, mira por aquí.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Diciembre, 2020, 09:59 pm
Respuesta #2

Hauss

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Muchas gracias, es en el disco abierto, en el link que adjuntas lo que hacen es una sobreyectiva \( f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}-i \), haciendo una traslación y la composición bastaría para obtener la función que se busca?

Edición: me ha surgido una duda más, con la construcción que se hace e identificando el plano complejo con \( \mathbb{R}^2 \), entonces se puede concluir que estos espacios son homeomorfos?

24 Diciembre, 2020, 12:06 am
Respuesta #3

geómetracat

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Muchas gracias, es en el disco abierto, en el link que adjuntas lo que hacen es una sobreyectiva \( f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}-i \), haciendo una traslación y la composición bastaría para obtener la función que se busca?
Sí, pero después compone con la aplicación \( z \mapsto z^2 \). La clave está en que \( z \mapsto z^2 \) lleva el semiplano cerrado en \( \Bbb C \), y lo de hacer la traslación para tener una aplicación exhaustiva \( \Bbb D \to \Bbb H -i \) es precisamente para que el semiplano cerrado esté en la imagen.

Fíjate también en que la aplicación holomorfa exhaustiva \[ \Bbb D \to \Bbb C \] que se obtiene aquí no es inyectiva, y de hecho no existe ninguna aplicación \( \Bbb D \to \Bbb C \) holomorfa y biyectiva. Esto es porque una tal aplicación tendría inversa holomorfa, y eso contradice el teorema de Liouville, ya que una aplicación holomorfa \( \Bbb C \to \Bbb D \) al tener imagen acotada debe ser constante.

Citar
Edición: me ha surgido una duda más, con la construcción que se hace e identificando el plano complejo con \( \mathbb{R}^2 \), entonces se puede concluir que estos espacios son homeomorfos?
Como ya he dicho antes, la función que se obtiene no es inyectiva, luego no puede ser un homeomorfismo. Ahora bien, sí es cierto que todo disco abierto es homeomorfo a \( \Bbb C \) (o lo que es lo mismo, a \( \Bbb R^2 \)). Es fácil dar un homeomorfismo explícito. Por ejemplo, \[ z \mapsto \frac{z}{1-|z|} \]. Pero por lo de antes, ninguno de estos homeomorfismos va a ser holomorfo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Diciembre, 2020, 04:55 am
Respuesta #4

Hauss

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Muchas gracias, ya me ha quedado muy claro