Hola,
Hay un non sequitur en lo rojo; mi demostración no estaba bien hecha.
Hola Luis, muchas gracias.
Para el apartado b), ¿cómo puede saberse que la recta que has construido es la mayor variedad lineal proyectiva contenida en la intersección?
¿Suponer que dicha intersección es de rango estrictamente mayor que 1 y llegar a un absurdo? La cuádrica es reglada... Pero no veo cómo. Vale, ya veo. Lo escribo.
Suponer que dicha intersección tiene dimensión 2 o mayor implica que $$H$$ corta a $$Q$$, por lo menos, en dos rectas distintas (por ser $$Q$$ reglada?). $$H$$ es tangente a $$Q$$, y a $$H$$ contiene a la recta. Entonces $$H$$ está contenido en la polar de la recta. Y de la otra.
$$H\subset \text{polar}_Q(r_1)$$
$$H\subset \text{polar}_Q(r_2)$$
Entonces H está contenido en la intersección.
$$H \subset \text{polar}_Q(r_1)\cap \text{polar}_Q(r_2)=\text{polar}(r_1+r_2)$$
Como $$r_1+r_2\supset R_1+R_2$$ ($$R_1,R_2$$ puntos de ambas rectas distintos entre sí y distintos del singular), entonces $$\text{polar}(r_1+r_2)\subset \text{polar}(R_1+R_2)=\text{polar}_Q(R_1)\cap \text{polar}_Q{R_2}=H_1\cap H_2$$. Pero si $$R_1$$ es distinto de $$R_2$$, entonces $$H_1\neq H_2$$ y $$H_1, H_2$$ se cortan en una recta. Estaríamos diciendo que $$H\subset H_1\cap H_2$$, siendo $$H_1\cap H_2$$ una recta. Esto es un absurdo porque $$H$$ es un plano. Así que la dimensión de la intersección es estrictamente menor que 2. Además, hemos visto que es mayor o igual que 1. Así que es 1. Concluimos que la intersección no sólo contiene una recta sino que es la recta.
El apartado g) me parece una perogrullada.
El tema es casi trivial, pero esta vez casi lo demuestro bien:
Sea $$R\in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q)$$. Supongamos que $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2$$. Es decir, supongamos que $$H=\text{polar}_Q(R)$$ corta a $$\mathcal{L}(Q)$$ en dos rectas (distintas). Una de ellas debe ser la de Luis. Llamemos a ésta $$r_1$$. $$r_1$$ está formada por los puntos $$R$$ y $$P=\text{Sing}(Q)$$. Tenemos que existe un punto $$R_2$$ de $$r_2\setminus r_1$$ tal que $$R_2\in \mathcal{L}(Q)$$ y $$R_2\in H=\text{polar}_Q(R)$$. Sea $$\text{polar}_Q(R_2)=H_2$$; por ser $$R_2$$ no singular para $$Q$$, su polar es un hiperplano, $$H_2$$. $$R_2$$ está en las mismas condiciones que $$R_1$$, es decir, que $$H_2=\text{polar}_Q(R_2)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r'$$. $$r_1$$ es la recta de Luis. ¿Es $$r'=r_2$$? Como $$R_2\notin r_1$$, entonces $$R_2\in r'$$ (pues a alguna de las dos debe pertenecer; si no está en una, está en la otra).
Yo afirmo (no está probado) que $$P\in r_2$$, lo que supone además que $$P\in r'$$. Esta suposición tiene su base, no es descabellada. Tenemos entonces dos rectas, $$r_2$$ y $$r'$$, que vienen dadas por los mismos puntos ($$R_2$$ y $$P$$); entonces son iguales. Por tanto: $$H=\text{polar}_Q(R_1)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2=\mathcal{L}(Q)\cap \text{polar}_Q(R_2)=H_2$$. Concluimos que los hiperplanos $$H$$ y $$H_2$$ son iguales. $$H_2=H \Longleftrightarrow \text{polar}_Q(R_2)=\text{polar}_Q(R)\Longleftrightarrow \text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R_2))=\text{polar}_Q(\text{polar}_Q(R))\Longleftrightarrow R_2=R$$. Se deduce que $$R_2=R$$, y de aquí que $$R_2 \in r_1$$. Pero esto es absurdo, porque por hipótesis $$R_2\in r_2\setminus r_1$$. Entonces $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)$$ no puede ser un par de rectas. Como un plano siempre corta a una cuádrica en una cónica, y si la cónica contiene una recta, o es una recta doble o son dos rectas, por dicotomía se deduce que $$(\forall R \in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q))~\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=\{P\}+\{R\}$$, con $$\{P\}=\text{Sing}(Q)$$. $$\blacksquare$$
Gracias Luis.
Añadido:
Supongamos tener un cono proyectivo real, y un plano que pasa por su punto singular. Entonces yo afirmo que, si la cónica resultante de cortar el cono con el plano es la unión de dos rectas, el punto singular pertenece a cada una de ellas.
¿Puede asegurarse (de manera más general) que cualquier restricción reglada de una cuádrica degenerada contiene a $$\text{Sing}(Q)$$? Si esto es cierto, veamos qué ocurre si $$H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=r_1\cup r_2$$ con $$R\neq P=\text{Sing}(Q)$$, $$r_1$$ la recta de Luis, definida por los puntos $$R$$ y $$P$$, y $$r_2$$ una recta distinta de $$r_1$$; sabemos que $$P$$ pertenece tanto a $$r_1$$ como a $$r_2$$. Al mismo tiempo, $$R$$ es singular para la cónica resultante de restringir $$Q$$ a $$H$$. ($$\text{Sing}(Q|_H)=\text{polar}_Q(H)\cap H=R\cap H=R$$) ¡$$R$$ es singular para $$r_1\cup r_2$$! Es decir, que $$R\in r_1$$ y $$R\in r_2$$. Por consiguiente tenemos $$r_1=\left<P,R\right>=r_2$$, esto es, $$r_1$$ y $$r_2$$ son iguales, en contra de la hipótesis. Entonces $$(\forall R\in \mathcal{L}(Q)\setminus \text{Sing}(Q))~H=\text{polar}_Q(R)\cap \mathcal{L}(Q)=\{P\}+\{R\}.$$ Una sola recta. $$\blacksquare$$
