Autor Tema: Formar enteros con tres dígitos en orden creciente y estrictamente creciente.

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16 Diciembre, 2020, 08:55 pm
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w a y s

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Hola.

Tengo un problema que dice así:

   Sea $$X=\{1,2,\ldots ,7\}$$. Determina cuántos enteros con tres dígitos, pertenecientes a $$X$$, se pueden formar en orden estrictamente creciente. Determina cuántos se pueden formar en orden creciente.

¿Podría alguien, por favor, darme una idea para empezar a resolverlo?

Muchas gracias de antemano, un saludo.

16 Diciembre, 2020, 10:16 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Lo que piden equivale a determinar el número de ternas ordenadas (abc) tales que \( a<b<c \) para el primer caso. Para el segundo caso \( a\leq{b}\leq{c} \)

Te ayudo con el primer caso.

Las ternas pueden ser solamente de estos 5 tipos :

(1,b,c)  (2,b,c)  (3,b,c) (4,b,c) y (5,6,7)

Observa que cuando la terna empieza con el 5 necesariamente b=6, c=7 en consecuencia hay una sola terna de ese tipo.

Para el tipo (1,b,c)

El número de ternas \( N_1 \) se corresponde con el número de pares ordenados que se pueden formar con \( \left\{{2,3,4,5,6,7}\right\} \) de tal manera que \( b<c \)

\( b=2\Rightarrow{n_2=5} \) ternas

\( b=3\Rightarrow{n_3=4} \) ternas

\( b=4\Rightarrow{n_4=3} \) ternas

\( b=5\Rightarrow{n_5=2} \) ternas

\( b=6\Rightarrow{n_6=1} \) ternas

En consecuencia \( N_1=\displaystyle\sum_{i=2}^6{n_i}=15 \)

De la misma forma puedes analizar el resto de tipos, el total de números (ternas) será la suma \( \displaystyle\sum_{i=1}^5{N_i} \), no olvides que \( N_5=1 \)

Saludos

16 Diciembre, 2020, 11:21 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola.

Tengo un problema que dice así:

   Sea $$X=\{1,2,\ldots ,7\}$$. Determina cuántos enteros con tres dígitos, pertenecientes a $$X$$, se pueden formar en orden estrictamente creciente. Determina cuántos se pueden formar en orden creciente.

¿Podría alguien, por favor, darme una idea para empezar a resolverlo?

Muchas gracias de antemano, un saludo.

Seguro que es como lo interpreta Delmar, pero como habla de enteros, quizá podría también referirse al orden estricto por valor numérico.

Si fuera ese caso, creo que serviría hallar todas las variaciones con repetición del 0 al 9 tomando elementos de tres en tres (todas sin quitar ninguna) y después quitar todas las que tengan ceros, ochos y nueves. Y lo que quedase sería la respuesta, pues son enteros positivos distintos y todos se pueden ordenar estrictamente. El problema de considerar enteros por su valor viene cuando queremos hacerlo con el orden no estricto; tendría que haber números repetidos. Por eso, más que seguramente, es como dice Delmar.

Saludos.

16 Diciembre, 2020, 11:36 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Una alternativa a la solución de delmar para el caso estrictamente creciente, más directa.

El problema se vuelve casi trivial con la siguiente observación: dados tres números distintos del \( 1 \) al \( 7 \), hay exactamente una permutación de los tres números en la que aparecen en orden estrictamente creciente. Por tanto, el número de enteros con los dígitos en orden estrictamente creciente coincide con las maneras de escoger tres números distintos del \( 1 \) al \( 7 \), es decir \[ \binom{7}{3}=35 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Diciembre, 2020, 02:09 am
Respuesta #4

w a y s

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Hola.

Una alternativa a la solución de delmar para el caso estrictamente creciente, más directa.

El problema se vuelve casi trivial con la siguiente observación: dados tres números distintos del \( 1 \) al \( 7 \), hay exactamente una permutación de los tres números en la que aparecen en orden estrictamente creciente. Por tanto, el número de enteros con los dígitos en orden estrictamente creciente coincide con las maneras de escoger tres números distintos del \( 1 \) al \( 7 \), es decir \[ \binom{7}{3}=35 \].

Interesante obsevación , lo he comprobado con la solución de delmar y es cierto que coinciden.

Muchas gracias a los tres por haberme ayudado.  ;D