Esperad que aquí llega el que faltaba.
Como \( A\subset B
\)
\( B^{c}\Rightarrow x\in A^{c}
\)
y por otra parte
\( (B-A)\Rightarrow x\in A^{c}
\).
Por ello entonces
\( B^{c}\cup(B-A)\Rightarrow x\in A^{c}
\)
Para que no fuera todo \( A^{c}
\), tendría que ocurrir que “x” no estuviera en \( B^{c}
\) y tampoco estuviera en \( (B-A)
\), debido a que es la unión de ambos. Pero eso es obviamente imposible.
(*La fuerza de la demostración está sobretodo en el “obviamente”
)
Mareando mucho la perdiz creo que valdría esto, si no me he equivocado: Spoiler
\( (A\subset B)\Rightarrow B\cap A=A
\)
por tanto, hallando el complementario a los dos lados
\( (B\cap A)^{c}=A^{c}
\).
Por Morgan (si se conoce previamente la demostración)
\( B^{c}\cup A^{c}=A^{c}
\).
Sustituyendo en la hipótesis, que es\( B^{c}\cup(B-A)=A^{c}
\), equivale a demostrar
\( B^{c}\cup(B-A)=B^{c}\cup A^{c}
\).
Ahora, por Morgan otra vez
\( (B^{c}\cup(B-A))^{c}=(B^{c}\cup A^{c})^{c}
\)
\( B\cap(B-A)^{c}=B\cap A
\)
que es lo mismo que
\( B\cap(B-A)^{c}=A
\) (pues tenaíamos \( A\subset B
\)).
Analicemos:
\( (B-A)\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A
\)
entonces
\( (B-A)^{c}\Rightarrow x\notin B\wedge x\in A\Rightarrow x\in A
\)
Recordando otra vez que \( A\subset B
\), entonces
\( (B-A)^{c}=A
\)
por lo que
\( B\cap(B-A)^{c}=A \)
Aplicando Morgan a los dos lados se tiene la igualdad de partida.
\( B^{c}\cup(B-A)\in A^{c}
\)
Saludos.
