[Luis Fuentes]

Hola

Entiendo este punto que planteas, pero creo que no logro llevar mas alla el concepto de potencia.
 Si tomo a R como el punto por el cual voy a trabajar la potencia, segun el segmento PQ, ¿como me doy cuenta cual es la d para aplicar potencia. ¿La d siempre se refiere a la distancia entre mi punto y el punto medio del segmento? donde se encuentre en este caso r (dado que es interior). Y en ese caso, cuando trabajo con potencia de un punto aparece r que esta asociado al radio, en este segmento PQ, no tengo un valor de radio.
 Segun tu caso decis que PM-MR=d-r, estas diciendo que MR es radio de la circunferencia?

Creo que te estás liando.

En primer lugar la potencia de un punto es simplemente lo siguiente. Si tu FIJAS un punto \( R \) de la circunferencia y tomas cualquier CUERDA por \( R \), el producto de las distancias de los punto de corte de la cuerda con \( R \) es constante, no depende de la cuerda elegida.

Entonces no hay que "darse cuenta de nada" eso es lo único que se usa en esta igualdad:

\( AR\cdot RD=PR\cdot QR \)

Después creo que te estás liando con el uso de \( d \) y de \( r \); está ultima, \( r \), NO TIENE NADA QUE VER CON EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA.

Fíjate simplemente a los nombres que se le han dado a las cosas:

\( d \) es la distancia \( PM \) o \( MQ \) (por hipótesis son la misma).
\( r \) es la distancia \( RM \), NADA QUE VER con el RADIO.

Teniendo en cuenta eso vuelve a leer mi anterior respuesta.

Saludos.

[Agusss]

Fíjate simplemente a los nombres que se le han dado a las cosas:

d es la distancia PM o MQ (por hipótesis son la misma).
r es la distancia RM, NADA QUE VER con el RADIO.

Si, exacto!. Muchísimas gracias me estaba liando con la r de la distancia y la r del radio. Muchísimas gracias!!

Dejo la continuación, lo que seria el final, por si alguno le interesa en un futuro.
Continuando el punto 6)
6) \( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1X_2 }{Y_1Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP} \)
7) Por hipotesis tengo que PM=QM por lo tanto lo llamo d, i.e, d=PM=QM. A su vez, x=Distancia de X a M e y= Distancia de M a Y.
IMPORTANTE: Las letras que utilizo en mi demostración están cambiadas con respecto a la demostrada por Ignacio Larrosa Cañestro
8) Reemplazando con la ayuda de la definicion de la potencia del punto x e y tengo que.
Pot (X,C)=PX.XQ
PX=PM-XM=d-x (punto 7)
XQ=XM+MQ= x+d (punto 7)
Entonces tengo que: \( PX.XQ= (d-x).(d+x)=d^{2}-x^{2} \)
Analogamente se demuestra que \( PY.YQ=(d+y).(d-y) \)
9) Reemplazo en mi ecuacion
\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1X_2 }{Y_1Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP}=\frac{d^{2}-x^{2}}{d^{2}-y^{2}} \)
10) Resuelvo aplicando distributiva, etc.

• \( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{d^{2}-x^{2}}{d^{2}-y^{2}} \)
• \( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{d^{2}-x^{2}}{d^{2}-y^{2}} \)
• \( {x^{2}(d^{2}-y^{2})}={y^{2}(d^{2}-x^{2})} \)
• \( {x^{2}d^{2}-x^{2}y^{2}}={y^{2}d^{2}-y^{2}x^{2}} \)
• \( {x^{2}d^{2}}={y^{2}d^{2}} \)
• \( {x^{2}}={y^{2}} \)

11) Llego a que x=y C.Q.D
Pd: Intento ser ordenado con el lenguaje de LATEX pero algunas cosas quizás se me escapen, sepan disculpar. Gracias nuevamente.