[mileto]

si consideramos \(  A = (a_{ij}) \in \mathbb M_{\mathbb R} (n \times m)  tal que  A \neq 0   \)    y
  \(  \mathbb W =\left\{{ X \in \mathbb M_{\mathbb R}(m \times 1)|A X =(0)}\right\} \leq \mathbb M_{\mathbb R} (m \times 1)   \)

entonces  demuestre que :
                                            \( \mathbb W \neq \left\{{(0)}\right\} \Longleftrightarrow rango(A)< m  \)

[mileto]

o sea a mi lo que se me ocurre es tomar A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}
y luego la escalono y tendria que el rango(A) < m

estaría correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

o sea a mi lo que se me ocurre es tomar A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}\end{pmatrix}
y luego la escalono y tendria que el rango(A) < m

estaría correcto?

Pero, ¿cómo relacionas eso con el hecho de que \( W \) sea o no el vector nulo?.

Mi sugerencia es que tengas en cuenta que:

\( AX=0 \)

equivale a que:

\( x_1A_1+x_2A_2+\ldots+x_nA_n=0 \)

siendo \( A_i \) las columnas de \( A \) y \( x_i \) los elementos de \( X \).

Entonces por definición de independencia lineal que exista un vector no nulo verificando \( AX=0 \) equivale a que las \( m \) columnas de \( A \) sean dependientes y eso a su vez a que \( rango(A)<m \).

Saludos.

P.D. A la hora de escribir de manera totalmente rigurosa todo esto quizá habría que saber que definición y propiedades te han dado sobre el rango de una matriz, para basarse exclusivamente en ellas.

[mileto]

pero como debo empezar?

[Luis Fuentes]

Hola

pero como debo empezar?

No sé si tiene sentido que conteste a esta pregunta, francamente, es señal de que no has entendido nada de lo que te he dicho.
Si quieres probar que:

\( \mathbb W \neq \left\{{(0)}\right\} \Longleftrightarrow rango(A)< m \)

Pues puedes comenzar: \( \mathbb W \neq \left\{{(0)}\right\}  \) equivale a que existe un vector \( X \) no nulo en \( W \), es decir, cumpliendo \( AX=(0) \).

Ahora vuelve a leer mi primera respuesta.

Saludos.

[mileto]

Si entiendo a lo que te refieres, ya que sistema tiene que ser linealmente dependiente  para que se cumpla que el rango (A) < m,  y además te dice que A no puede ser 0 implicando que  el sistema no pueda tener la solución trivial.
 
el punto es que no sabia como plantearlo...


bueno gracias igual por la ayuda. saludos!
 

[Luis Fuentes]

Hola

Si entiendo a lo que te refieres, ya que sistema tiene que ser linealmente dependiente  para que se cumpla que el rango (A) < m,  y además te dice que Ai no puede ser 0 implicando que  el sistema no pueda tener la solución trivial.

mmmmm si dices que lo entiendes vale.

Pero debes de expresarlo bien lo de "sistema tiene que ser linealmente dependiente" no está muy bien expresado. Sería (supongo que te refieres a eso) que las ecuaciones del sistema son linealmente dependientes.

Por otra parte tu lo que estás diciendo es que si el sistema tiene solución no trivial el rango de la matriz asociada tiene que ser menor que el número de incógnitas.

Ahí utilizarías la teoría de sistemas lineales homogéneos; está bien. Pero no es exactamente el camino que yo te propuse.

Saludos.