[DanyM]

Demuestre que \(  \not\exists{<,>}:\mathbb{R^n}\times{}\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R}}  p.i  \) tal que \(  \left\|{\overline{x}}\right\| = \sqrt[]{<\overline{x},\overline{x}>} \forall{\overline{x}}\in{\mathbb{R}} \)

[mathtruco]

Hola DanyM, no entiendo qué quieres demostrar.

Por una parte, para cualquier producto interior \( \langle\cdot,\cdot\rangle \), \( \|x\|=\langle x,x\rangle \) es una norma.

Por otra parte, si el espacio tiene una norma \( \|\cdot\| \) que cumple la ley del paralelógramo, entonces puedes definir un producto interior usando la Ley del Paralelógramo.

[DanyM]

Es que primero se me pidió demostrar la ley del paralelogramo, y utilizando eso debo demostrar lo que pregunté.

[Luis Fuentes]

Hola

Es que primero se me pidió demostrar la ley del paralelogramo, y utilizando eso debo demostrar lo que pregunté.

Es que no se entiende lo que quieres probar. Lo que has escrito es:

Demuestre que \(  \not\exists{<,>}:\mathbb{R^n}\times{}\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R}}  p.i  \) tal que \(  \left\|{\overline{x}}\right\| = \sqrt[]{<\overline{x},\overline{x}>} \forall{\overline{x}}\in{\mathbb{R}} \)

es decir que no existe un producto interior de manera que la norma es la raíz cuadrada del producto interior de un vector por si mismo.

Así escrito eso es falso; todos los productos interiores definen una norma de esa manera.

Se me ocurre que hayas escrito incompleto el enunciado; que te den como dato una norma y te pidan probar que no puede estar inducida por un producto interior. En ese caso se haría comprobando que la norma no cumple la igualdad del paralelogramo.

Entonces: revisa y completa el enunciado.

Saludos.

[DanyM]

Entiendo. Creo que más bien lo que quiere es que proponga dos sucesiones tales que al aplicar la ley, no se cumpla

[mathtruco]

¿Puedes colocar el enunciado exacto?

[DanyM]

Claro, dice:
a) Sean \( V  \) un espacio vectorial y \(  <,>  \) un producto interno, entonces \(  \forall{u,v}\in{V} \) \( \left\|{u+v}\right\|^2+\left\|{u-v}\right\|^2=2(\left\|{u}\right\|^2+\left\|{v}\right\|^2) \). Donde \( \left\|{w}\right\|=\sqrt[ ]{<w,w>} \) \( \forall{w}\in{V} \)
b) Demuestre que \(  \not\exists{<,>}:\mathbb{R^n}\times{}\mathbb{R^n}\longrightarrow{\mathbb{R}}  p.i  \) tal que \(  \left\|{\overline{x}}\right\| = \sqrt[]{<\overline{x},\overline{x}>} \forall{\overline{x}}\in{\mathbb{R^n}} \)

[mathtruco]

- La parte (a) es verdadera, así que puedes demostrarlo.

- La parte (b) es falsa. Basta observar que el producto interior usual de \( \mathbb{R}^n \) cumple con lo pedido. A menos que esa barra sobre las \( x \) sea algún operador especial. Tal como está, con o sin esa barra la proposición es la misma.

Una explicación más general está en los comentarios anteriores.

[DanyM]

Entiendo, muchas gracias