Autor Tema: Demostrar identidad trigonométrica 4.

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01 Diciembre, 2020, 05:16 am
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narpnarp

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Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( sen(10°+x)cos(20°-x)+cos(80°-x)sen(70°+x)=sen(2x-10°) \)

Al principio traté con las identidades de productos y luego con las de suma y resta, pero no llegué a nada. Luego me di cuenta de que si hago la sustitución   \( x=0 \) el primer miembro de la igualdad es positivo y el segundo es negativo y por tanto no es una identidad.
¿Me he saltado algo?
Gracias por la ayuda.

01 Diciembre, 2020, 05:33 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

¿Ya probaste \[ cos(\theta)=sen(90^{\circ}-\theta) \]?

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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02 Diciembre, 2020, 01:08 am
Respuesta #2

narpnarp

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Hola, ingmarov.
Hice lo que me dijiste pero igual no llegué a la solución.
Voy a escribir como traté de resolverlo y luego como tú me sugeriste.

\( sen(10°+x)cos(20°-x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen30°+sen(2x-10)] \)

\( cos(80°-x)sen(70°+x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen150°+sen(2x-10)] \)

Al sustituir y simplificar me da
\( \displaystyle\frac{1}{2}+sen(2x-10°) \)

Como tú me sugeriste.
\( cos(80°-x)=sen[90°-(80°-x)]=sen(10°+x) \)
\( sen(70°+x)=cos[90°-(70°+x)]=cos(20°-x) \)
Al sustituir y simplificar me da el mismo resultado anterior.

02 Diciembre, 2020, 02:07 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola, ingmarov.
Hice lo que me dijiste pero igual no llegué a la solución.
Voy a escribir como traté de resolverlo y luego como tú me sugeriste.

\( sen(10°+x)cos(20°-x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen30°+sen(2x-10)] \)

\( cos(80°-x)sen(70°+x)=\displaystyle\frac{1}{2}[sen150°+sen(2x-10)] \)

Al sustituir y simplificar me da
\( \displaystyle\frac{1}{2}+sen(2x-10°) \)

Como tú me sugeriste.
\( cos(80°-x)=sen[90°-(80°-x)]=sen(10°+x) \)
\( sen(70°+x)=cos[90°-(70°+x)]=cos(20°-x) \)
Al sustituir y simplificar me da el mismo resultado anterior.

Tenemos dos identidades: \[ cos(x)=sen(90^{\circ}-x) \]     y     \[ sen(x)=cos(90^{\circ}-x) \]

A ver

\[ sen(10°+x)cos(20°-x)+cos(80°-x)sen(70°+x)={\bf\color{red}sen(2x-10°)} \]       ¿Te falta algo aquí?

se convierte en:

\[ sen(10°+x)cos(20°-x)+sen(90^{\circ}-(80°-x))cos(90^{\circ}-(70°+x))={\bf\color{red}sen(2x-10°)} \] 


Termina
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02 Diciembre, 2020, 02:59 am
Respuesta #4

narpnarp

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Hola,  ingmarov. Sigo donde lo dejaste.
Simplifico
\( sen(10°+x)cos(20°-x)+sen(10°+x)cos(20°-x) \)
\( 2[sen(10°+x)cos(20°-x)]=2[\displaystyle\frac{sen30°+sen(2x-10°)}{2}] \)
\( sen30°+sen(2x-10°)=\displaystyle\frac{1}{2}+sen(2x-10°) \)
Tu pregunta de si me falta algo, revisé el ejercicio y lo he transcrito correctamente.

02 Diciembre, 2020, 03:10 am
Respuesta #5

ingmarov

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...
Tu pregunta de si me falta algo, revisé el ejercicio y lo he transcrito correctamente.

Pues hay un error en el problema porque esa no es una identidad.

Prueba por ejemplo el valor de \[ x=20^{\circ} \]

Saludos
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