Autor Tema: Simplificación de un quebrado.

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30 Noviembre, 2020, 12:21 am
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narpnarp

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Muy buenas.
Me dan para demostrar la siguiente identidad.

\( \displaystyle\frac{tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{5π}{12}+tan\displaystyle\frac{π}{12}tan\displaystyle\frac{5π}{12}}{1-tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{π}{12}}=2+\sqrt[ ]{3} \)

Ocupe las identidades necesarias para llegar al siguiente resultado que comprobé con la calculadora y es igual al resultado final pero no sé cómo simplificarlo. Creo que en algún paso de la simplificación se me ha pasado por alto.

\( \displaystyle\frac{2+\sqrt[ ]{4-2\sqrt[ ]{3}}}{-2+\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}} \)

Muchas gracias.

30 Noviembre, 2020, 12:50 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Multiplica numerador y denominador por \( 2-\sqrt{4+2\sqrt 3} \) al simplificar te quedará

\( \displaystyle \frac{3+\sqrt{4+2\sqrt3}+\sqrt{4-2\sqrt 3}}{\sqrt 3} \)

Ahora multiplica por \( \sqrt 3 \) y llegarás a

\( \displaystyle \frac{\sqrt{12+6\sqrt 3}+\sqrt{12-6\sqrt 3}}3+\sqrt 3 \)

Basta probar que

\( \sqrt{12+6\sqrt 3}+\sqrt{12-6\sqrt 3}=6 \).

Eleva al cuadrado el miembro izquierdo y verás que te da \( 36 \).

30 Noviembre, 2020, 12:56 am
Respuesta #2

Abdulai

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Muy buenas.
Me dan para demostrar la siguiente identidad.

\( \displaystyle\frac{tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{5π}{12}+tan\displaystyle\frac{π}{12}tan\displaystyle\frac{5π}{12}}{1-tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{π}{12}}=2+\sqrt[ ]{3} \)

Ocupe las identidades necesarias para llegar al siguiente resultado que comprobé con la calculadora y es igual al resultado final pero no sé cómo simplificarlo. Creo que en algún paso de la simplificación se me ha pasado por alto.

\( \displaystyle\frac{2+\sqrt[ ]{4-2\sqrt[ ]{3}}}{-2+\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}} \)

Es multiplicar y dividir por el conjugado, lo que pasa es que en esa expresión vas a tener que aplicarlo varias veces.


Algo mas sencillo es aplicar la tangente de la suma de ángulos:  \( \tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \)

\( \dfrac{\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{\pi}{12}\tan\frac{5\pi}{12}}{1-\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{12}}=\underbrace{\left(\dfrac{\tan\frac{\pi}{6}+\tan\frac{\pi}{12}}{1-\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{12}}\right)}_{=\tan(\frac{\pi}{4})=1}\;\;\tan\frac{5\pi}{12}
 \)

y como  \( \frac{5}{12} = \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \)     seguilo ....

30 Noviembre, 2020, 01:54 am
Respuesta #3

narpnarp

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Muchas gracias por la ayuda.   :)