Muy buenas.
Me dan para demostrar la siguiente identidad.
\( \displaystyle\frac{tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{5π}{12}+tan\displaystyle\frac{π}{12}tan\displaystyle\frac{5π}{12}}{1-tan\displaystyle\frac{π}{6}tan\displaystyle\frac{π}{12}}=2+\sqrt[ ]{3} \)
Ocupe las identidades necesarias para llegar al siguiente resultado que comprobé con la calculadora y es igual al resultado final pero no sé cómo simplificarlo. Creo que en algún paso de la simplificación se me ha pasado por alto.
\( \displaystyle\frac{2+\sqrt[ ]{4-2\sqrt[ ]{3}}}{-2+\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}} \)
Es multiplicar y dividir por el conjugado, lo que pasa es que en esa expresión vas a tener que aplicarlo varias veces.
Algo mas sencillo es aplicar la tangente de la suma de ángulos: \( \tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \)
\( \dfrac{\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{\pi}{12}\tan\frac{5\pi}{12}}{1-\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{12}}=\underbrace{\left(\dfrac{\tan\frac{\pi}{6}+\tan\frac{\pi}{12}}{1-\tan\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{12}}\right)}_{=\tan(\frac{\pi}{4})=1}\;\;\tan\frac{5\pi}{12}
\)
y como \( \frac{5}{12} = \frac{1}{4}+\frac{1}{6} \) seguilo ....
