Autor Tema: Demostrar identidad trigonométrica 2.

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27 Noviembre, 2020, 03:50 am
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narpnarp

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Muy buenas.
Tengo que demostrar la siguiente identidad.
\( cos12°cos24°cos48°cos96°=-\displaystyle\frac{1}{16} \)
Tengo que  usar ángulos notables para resolverla.
Me di cuenta que cada ángulo es el doble del anterior y \( 48+12=60 \) \( 96+24=120 \)
Usé  la identidad \( cosxcosy=\displaystyle\frac{cos(x+y)+cos(x-y)}{2} \), pero no pude llegar al resultado que me piden. Gracias por la ayuda.

27 Noviembre, 2020, 02:00 pm
Respuesta #1

Abdulai

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Aplicando esa identidad te encontrás que: \( 48+12=60\;,\;96+24=120\;,\;48-12=36\;,\;96-24=72 \)  todos son ángulos notables, solamente que 36 y 72 no son tan populares.
\( \cos 36°=\dfrac{\sqrt5+1}{4}\;,\;\cos 72°=\dfrac{\sqrt5-1}{4} \)  (se pueden calcular partiendo de la identidad \( \cos 5x=16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x \) , que a su vez se deduce de la suma de ángulos etc :) )


Pero esto se puede calcular sin usar ángulos notables con el siguiente truco:

Si multiplico todo por \( \sin 12° \)  : 
\( \underbrace{\sin12°\cos12°}_{1/2\;\sin24°}\cos24°\cos48°\cos96°=
\frac{1}{2}\underbrace{\sin24°\cos24°}_{1/2\;\sin48°}\cos48°\cos96°=
\frac{1}{4}\underbrace{\sin48°\cos48°}_{1/2\;\sin96°}\cos96°=
\frac{1}{8}\underbrace{\sin96°\cos96°}_{1/2\;\sin192°}=
\frac{1}{16}\underbrace{\sin192°}_{-\sin12°} \)

\( \therefore\quad \cancel{\sin12°}\cos12°\cos24°\cos48°\cos96°=-\frac{1}{16}\cancel{\sin12°} \)

28 Noviembre, 2020, 12:25 am
Respuesta #2

narpnarp

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Gracias,  Abdulai. No sabían que los otros ángulos también eran notables.

28 Noviembre, 2020, 02:51 am
Respuesta #3

weimar

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Hola, otra forma:
$$\cos 12 \cos 48 \cos 24 \cos 96=\frac{1}{2}\Big( \cos 60+\cos 36\Big) \frac{1}{2}\Big(\cos 120+\cos 72\Big)=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2}+\cos 36\Big)\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2}+\cos 72\Big)= \Big(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 36\Big)\Big(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos 72\Big)$$
 
Usando la propiedad distributiva ,  tenemos

$$= -\frac{1}{16}-\frac{1}{8}\cos 36 +\frac{1}{8}\cos 72 +\frac{1}{4}\cos 36 \cos 72=-\frac{1}{16}-\frac{1}{8}\cos 36 +\frac{1}{8}\cos 72 +\frac{1}{8} \cos 108+ \frac{1}{8}\cos 36 = -\frac{1}{16}$$

En la ultima igualdad use la formula del coseno que colocaste y tambien : $$ \cos 108=\cos (180-72)=- \cos 72$$

28 Noviembre, 2020, 09:57 am
Respuesta #4

sugata

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Gracias,  Abdulai. No sabían que los otros ángulos también eran notables.

Hay cierta controversia con eso...

28 Noviembre, 2020, 12:38 pm
Respuesta #5

Abdulai

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Gracias,  Abdulai. No sabían que los otros ángulos también eran notables.

Hay cierta controversia con eso...

No lo sabía,  siempre tuve a \( \frac{\pi}{5} \) como ángulo notable.

28 Noviembre, 2020, 12:58 pm
Respuesta #6

sugata

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Gracias,  Abdulai. No sabían que los otros ángulos también eran notables.

Hay cierta controversia con eso...

No lo sabía,  siempre tuve a \( \frac{\pi}{5} \) como ángulo notable.

Creo que tuvimos esta conversación en otro hilo.
Para mí \( \pi/5 \) no es notable, quizá llegue a suficiente...
Para mi los notables son \( 0,\pi/6,\pi/2,\pi/3\ y\  \pi \)