[Mariomarquez]

Hola, tengo una duda con el siguiente ejercicio, se trata de calcular el límite de la siguiente sucesión:

\( \frac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}} \),  \( p\in\mathbb{N} \) y \( n\in \mathbb{N} \)

Entonces tomando

\( a_n=1^p+2^p+...+n^p \)  y \( b_n=n^{p+1} \)

tenemos que
\(
   a_n-a_{n-1}=n^p \)  y
   
     \( b_n-b_{n-1}= \)(adjunto foto porque me da error al escribir el coeficiente binomial en latex)



El caso es que no entiendo el resultado de \( b_n-b_{n-1}= \), porque estoy muy pegado en el uso de estos coeficientes binomiales.¿Alguien podría
explicarmelo? Gracias, un saludo.

[martiniano]

Hola.

La siguiente identidad se conoce con el nombre de binomio de Newton:

\( (a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}} \)

Donde \[ \binom{n}{k}=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!} \].

Se verifican propiedades como las siguientes:

\[ \binom{n}{0}=1 \]
\[ \binom{n}{1}=n \]
\[ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

Entonces:

\( b_n-b_{n-1}=n^{p+1}-(n-1)^{p+1}=n^{p+1}-\displaystyle\sum_{k=0}^{p+1}{\binom{p+1}{k}n^k(-1)^{p+1-k}} \)

Para resolver el límite observa que en esta última expresión los términos de grado \( p+1 \) se anulan.

Un saludo.

[Mariomarquez]

Vale, muchas gracias, también me había hecho un lio con la notación también ahora lo tengo mas claro.
Un saludo!