[Albersan]

Hola:

Más que nada estoy confundido con la definición de límite y la negación de límite en funciones \(  \mathbb{R^2} \rightarrow{\mathbb{R}}  \)

Negación de la existecia de límite:     \(       \)

\(   \forall{L}:   \)    \(   \exists{\epsilon}>0   \)  tal que     \(    \forall{\delta }>0   \) existen  \(   (x,y)    \) tal que   \(  0 < \left\|{(x,y)-(x_0,y_0)}\right\|<\delta \)  pero no \(   \left |{F(x,y)-L}\right |<\epsilon    \).


Sea \(   F(x,y)= \displaystyle\frac{xy^3}{x^2+y^6}    \)   \(   (x,y)\neq (0,0)   \)  ;  \(   0    \)  si   \(   (x,y)=(0,0)    \)

¿  Cómo se aplica esta definición a \(   F(x,y)    \)  cuando se aproxima a  \(  (0,0)     \)  por \(   x=0   \)  ?

Gracias.

[ingmarov]

Hola

No sé si así te ayudo en algo, espero que sí

Si nos aproximamos al origen por la recta x=0 (eje y)
\[ \displaystyle\lim_{x=0,y\to 0}{\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}}=0 \]

Si nos aproximamos al origen por la curva \[ x=y^3 \]
\[ \displaystyle\lim_{x=y^3,y\to 0}{\dfrac{y^6}{2y^6}}=\dfrac{1}{2} \]

Dado que los límites no coinciden, el límite no existe en el origen para esta función.


Saludos

[Gustavo]

Hola. Podemos entonces usar lo que nos dice ingmarov para organizar el argumento usando la definición.

Si existiera el límite y lo llamamos \( L \), entonces para \( \varepsilon = \frac14 \) deberíamos poder probar que existe un \( \delta>0 \)  tal que si \( 0 < ||(x,y)||<\delta  \) entonces \( |F(x,y)-L |< \frac14 \).

Veamos que sin importar el \( \delta \) que escojamos no lo vamos a lograr. Fijemos un \( \delta'>0 \).

   - Podemos tomar \( y \) lo suficientemente cercano a 0 de tal forma que \( 0< ||(0,y)||<\delta'  \), por lo que tendríamos \( |F(0,y)-L |=|L|< \frac14 \), o sea \( -\frac14<L <\frac14 \).

   - Al mismo tiempo podemos tomar \( y \) lo suficientemente cercano a 0 de tal forma que \( 0< ||(y^3,y)||<\delta'  \), por lo que tendríamos \( |F(y^3,y)-L |=|\frac12-L|=|L-\frac12|< \frac14 \), o sea \( \frac14<L <\frac34 \).
 
Esto es contradictorio porque no hay número \( L \) que pertenezca a los dos intervalos \( (-\frac14,\frac14)  \) y \( (\frac14,\frac34)  \), así que el límite \( L \) no puede existir.

Nota que todo esto se basó en la escogencia apropiada de los caminos para acercarnos a \( (0,0)  \). También nota que escogimos \( \varepsilon=\frac14 \) porque es la mitad de la distancia entre los dos "candidatos" a límites de la respuesta de ingmarov, pero cualquier \( \varepsilon \le \frac14 \) hubiera servido.

[Albersan]

Gracias por ambas respuestas, me ha quedado claro, gracias ingmarov y Gustavo.