Autor Tema: Negación de Límite

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21 Noviembre, 2020, 01:42 pm
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Albersan

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Hola:

Más que nada estoy confundido con la definición de límite y la negación de límite en funciones \(  \mathbb{R^2} \rightarrow{\mathbb{R}}  \)

Negación de la existecia de límite:     \(       \)

\(   \forall{L}:   \)    \(   \exists{\epsilon}>0   \)  tal que     \(    \forall{\delta }>0   \) existen  \(   (x,y)    \) tal que   \(  0 < \left\|{(x,y)-(x_0,y_0)}\right\|<\delta \)  pero no \(   \left |{F(x,y)-L}\right |<\epsilon    \).


Sea \(   F(x,y)= \displaystyle\frac{xy^3}{x^2+y^6}    \)   \(   (x,y)\neq (0,0)   \)  ;  \(   0    \)  si   \(   (x,y)=(0,0)    \)

¿  Cómo se aplica esta definición a \(   F(x,y)    \)  cuando se aproxima a  \(  (0,0)     \)  por \(   x=0   \)  ?

Gracias.

21 Noviembre, 2020, 05:02 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

No sé si así te ayudo en algo, espero que sí

Si nos aproximamos al origen por la recta x=0 (eje y)
\[ \displaystyle\lim_{x=0,y\to 0}{\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}}=0 \]

Si nos aproximamos al origen por la curva \[ x=y^3 \]
\[ \displaystyle\lim_{x=y^3,y\to 0}{\dfrac{y^6}{2y^6}}=\dfrac{1}{2} \]

Dado que los límites no coinciden, el límite no existe en el origen para esta función.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

21 Noviembre, 2020, 05:29 pm
Respuesta #2

Gustavo

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Hola. Podemos entonces usar lo que nos dice ingmarov para organizar el argumento usando la definición.

Si existiera el límite y lo llamamos \( L \), entonces para \( \varepsilon = \frac14 \) deberíamos poder probar que existe un \( \delta>0 \)  tal que si \( 0 < ||(x,y)||<\delta  \) entonces \( |F(x,y)-L |< \frac14 \).

Veamos que sin importar el \( \delta \) que escojamos no lo vamos a lograr. Fijemos un \( \delta'>0 \).

   - Podemos tomar \( y \) lo suficientemente cercano a 0 de tal forma que \( 0< ||(0,y)||<\delta'  \), por lo que tendríamos \( |F(0,y)-L |=|L|< \frac14 \), o sea \( -\frac14<L <\frac14 \).

   - Al mismo tiempo podemos tomar \( y \) lo suficientemente cercano a 0 de tal forma que \( 0< ||(y^3,y)||<\delta'  \), por lo que tendríamos \( |F(y^3,y)-L |=|\frac12-L|=|L-\frac12|< \frac14 \), o sea \( \frac14<L <\frac34 \).
 
Esto es contradictorio porque no hay número \( L \) que pertenezca a los dos intervalos \( (-\frac14,\frac14)  \) y \( (\frac14,\frac34)  \), así que el límite \( L \) no puede existir.

Nota que todo esto se basó en la escogencia apropiada de los caminos para acercarnos a \( (0,0)  \). También nota que escogimos \( \varepsilon=\frac14 \) porque es la mitad de la distancia entre los dos "candidatos" a límites de la respuesta de ingmarov, pero cualquier \( \varepsilon \le \frac14 \) hubiera servido.

22 Noviembre, 2020, 02:53 pm
Respuesta #3

Albersan

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Gracias por ambas respuestas, me ha quedado claro, gracias ingmarov y Gustavo.