Autor Tema: Flujo de un campo Vectorial 1

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20 Noviembre, 2020, 10:54 pm
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weimar

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Determine el flujo del campo $$F(x,y,z)=(\frac{x^3}{3}+y, \frac{y^3}{3}, \frac{z^3}{3}+2)$$ a traves de la superficie del solido $$W$$ definido por
$$W=\{ (x,y,z)  |  x^2+y^2+z^2  \geq{1} ,  x^2+y^2+(z-2)^2  \leq{4}, z \geq{\sqrt{x^2+y^2} } \}$$ con normal exterior.

Bueno hice las intersecciones de las superficies   y encontre los planos : $$z=\frac{1}{4}, z=\frac{1}{\sqrt{2}}, z=2$$ ahora aplicando el teorema de Gauss tenemos
$$\iint_{S}F.ndS=\iiint_{W}(x^2+y^2+z^2)dW$$  pasando a coordenadas esfericas nos da

$$\iiint_{W}(x^2+y^2+z^2)dW=\int_{0}^{2 \pi} \iint  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho  d \theta $$ y aqui no se como son los limites de integracion de $$\rho, \phi$$   :banghead: :banghead:

20 Noviembre, 2020, 11:20 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Haz un dibujo de las regiones, así podrás ver mejor los límites y que coordenadas te convienen más. A mi, en este caso, me gustaría más usar coordenadas cilíndricas. Viéndolo bien, en esféricas también debe ser una buena opción.

La imagen esta mal Imagen corregida

Mira así se ve la región desde el eje x,

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Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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21 Noviembre, 2020, 12:13 am
Respuesta #2

weimar

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Hola, usando cilindricas esta bien colocarlo asi:
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{1/ \sqrt{2}}^{2}\int_{\sqrt{1-r^2}}^{2+\sqrt{4-r^2}} (r^2+z^2)r dzdrd \theta $$   

En esfericas

$$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/4}  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho d \theta = -2 \pi \frac{31}{10}(\sqrt{2}-2)$$   

Pero la respuesta sale $$ \frac{\pi}{15}( 890+3\sqrt{2})$$   ??? ??? ???

21 Noviembre, 2020, 12:24 am
Respuesta #3

delmar

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Hola

No he revisado con rigor la aplicación del teorema de Gauss; pero considerando correcto el integral, se hace una pequeña acotación, esta superficie \( z=\sqrt[ ]{x^2+y^2} \) es una superficie cónica recta invertida, con vértice en el origen. Cuando y=0 se tiene \( z=\left |{x}\right | \) en consecuencia \( 0\leq{\phi}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \) mientras que  \( 1\leq{\rho}\leq{\sqrt[ ]{(2+2cos 2 \phi)^2+(2 sen 2 \phi)^2}} \) para llegar a esta expresión hay que considerar que \( \phi \) es un ángulo inscrito de la circunferencia grande de radio 2 y el ángulo central correspondiente es el doble de \( \phi \), se establece un triángulo rectángulo y se aplica Pitágoras.


Saludos

21 Noviembre, 2020, 12:42 am
Respuesta #4

ingmarov

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Ahh,  :banghead: :banghead: Ví un paraboloide donde hay un cono, qué mal.

Perdona weimar.

...
En esfericas

$$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/4}  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho d \theta = -2 \pi \frac{31}{10}(\sqrt{2}-2)$$   

Debes notar que \[ \rho \], para la esfera con centro en z=2, no vale 2 para todo valor de \[ \phi \].

Saludos
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21 Noviembre, 2020, 01:27 am
Respuesta #5

weimar

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Ahh,  :banghead: :banghead: Ví un paraboloide donde hay un cono, qué mal.

Perdona weimar.

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En esfericas

$$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/4}  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho d \theta = -2 \pi \frac{31}{10}(\sqrt{2}-2)$$   

Debes notar que \[ \rho \], para la esfera con centro en z=2, no vale 2 para todo valor de \[ \phi \].

Saludos



Hola, sem problemas ingmarow,  gracias por su aporte muchachos, ese es el objetivo del foro.

21 Noviembre, 2020, 03:57 am
Respuesta #6

ingmarov

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Debes obtener los límites de a partir de las ecuaciones que definen las superficies limitantes, por ejemplo

para el intervalo \[ 0\leq \phi\leq \frac{\pi}{4} \] necesitamos hacer las sustituciones en la ecuación de la esfera de radio 2.

\[ x^2+y^2+(z-2)^2=4 \]

\[ (\rho sen(\phi) cos(\theta))^2+(\rho sen(\phi) sen(\theta))^2+(\rho cos(\phi)-2)^2=4 \]

\[ \rho^2 sen^2(\phi) (\cancelto{1}{cos(\theta)^2+sen^2(\theta)})+(\rho cos(\phi)-2)^2=4 \]

\[ \rho^2 sen^2+\rho^2 cos^2(\phi)-4\rho cos(\phi)+4=4 \]

\[ \rho^2-4\rho cos(\phi)=0 \]

\[ \rho(\rho-4 cos(\phi))=0 \]

Entonce tenemos \[ \rho=4 cos(\phi) \]

Y allí tienes en ese intervalo de \[ \phi \] En realidad esto es válido para toda la esfera, pero para este problema particular nos interesa el intervalo para fi mencionado al principio.

\[ 1\leq\rho\leq 4 cos(\phi) \]   Estos son los límites que tienes mal.


Saludos
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21 Noviembre, 2020, 03:13 pm
Respuesta #7

weimar

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Ahh,  :banghead: :banghead: Ví un paraboloide donde hay un cono, qué mal.

Perdona weimar.

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$$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/4}  \rho^2 \rho^2 \sin \phi   d \phi  d \rho d \theta = -2 \pi \frac{31}{10}(\sqrt{2}-2)$$   

Debes notar que \[ \rho \], para la esfera con centro en z=2, no vale 2 para todo valor de \[ \phi \].

Saludos



Hola, muy bien gracias, ahora si me quedo claro,  pues el triangulo rectangulo que dijo delmar no lo encontraba para aplicar pitagoras y ver la acotacion del ro.