Autor Tema: Flujo de campo vectorial

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19 Noviembre, 2020, 02:48 pm
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weimar

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Calcular $$\iint_{S}F.ndS $$

onde  $$F(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$ y $$S:x^2+y^2+z^2=1$$ con $$n$$ normal exterior

Aplique el teorema de la divergencia divergencia y resulta : $$\iint_{S}F.ndS=0$$ pues $$div(F)=0$$ pero en la respuesta sale
$$4\pi$$ donde esta mi  error  :banghead: :banghead: :banghead:

19 Noviembre, 2020, 03:23 pm
Respuesta #1

geómetracat

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El problema es que no puedes aplicar el teorema de la divergencia porque \( F \) tiene una singularidad en el origen, que queda dentro del volumen de integración. Dicho de otra manera, \( F(0,0,0) \) no está definido, como tampoco lo está su divergencia. En este caso, no se puede aplicar el teorema de la divergencia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2020, 07:24 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola

Una forma es parametrizando S, con coordenadas esféricas \( \infty>R\geq{0}, \ \ 0\leq{\theta}<2\pi, \ \ 0\leq{\phi}\leq{\pi}  \) en esas circunstancias se tiene :

\( S: (\theta, \phi)\rightarrow{\vec{r}(\theta, \phi)=sen \phi \ cos \theta \vec{i}+sen \phi sen \theta \vec{j}+ cos \phi \vec{k} } \) se implica :

\( \vec{n}=sen^2\phi \ cos \theta \vec{i}+sen^2\phi \ sen \theta \vec{j}+ cos \phi \ \ sen \phi \ \vec{k} \) tienes que verificarlo

En esas condiciones :

\( \vec{F}(r(\theta, \phi))=sen \phi cos \theta\vec{i}+sen \phi sen \theta \vec{j}+ cos \phi \vec{k} \)

En consecuencia el flujo queda :

\( \displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2 \pi} \ sen \phi \  d \theta  \ d \phi \)

Verifica las cuentas.


Saludos

19 Noviembre, 2020, 07:30 pm
Respuesta #3

weimar

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Muy agradecido , señores!