Autor Tema: Condición de diferenciabilidad

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19 Noviembre, 2020, 08:38 am
Respuesta #20

geómetracat

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Gracias por la referencia, Gustavo. Yo ya no recuerdo dónde aprendí esto, pero seguro que no fue en un libro estándar de análisis en varias variables.

Un libro (bastante avanzado, aunque teóricamente empieza de cero) donde también lo hacen así es el primer tomo de los "Élements d'analyse" de Dieudonné.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2020, 09:19 am
Respuesta #21

Masacroso

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Es verdad que cuesta encontrar buenos libros con un enfoque teórico y riguroso del análisis real en varias variables. El de Rudin es una de las referencias estándar de análisis real pre-teoría de la medida, y de los más rigurosos. Pero la verdad es que no se me ocurre ningún libro más amigable donde esté todo hecho como me gustaría. Hay varios que están bien: los de Calculus del Apostol, el análisis en variedades de Spivak, etc. Pero ninguno de estos es todo lo que me gustaría.

Si sirve de algo casi todo el análisis matemático que conozco proviene de los libros de análisis de Herbert Amann y Joachim Escher. En el segundo tomo tratan de manera totalmente rigurosa y bastante general la derivada de Fréchet y algo de geometría diferencial.

La teoría de la medida sólo aparece a partir del tercer tomo, y en una generalidad también algo inusual (se trata la integral de Bochner en vez de la de Lebesgue, la de Lebesgue se ve como un caso especial de la de Bochner con alguna que otra particularidad). Sin embargo en teoría de la medida se queda muy corto el libro en muchos aspectos (por ejemplo ni se menciona el teorema de Radon-Nikodym).

Como no he leído muchos otros libros de análisis (análisis real me refiero), en verdad sólo otros dos donde no se toca especialmente el cálculo multivariable, no sé cómo serán de "buenos" pero no tuve muchos problemas con los antes citados, al menos hasta la mitad del tercer tomo que es donde me quedé.

19 Noviembre, 2020, 10:07 am
Respuesta #22

geómetracat

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Si sirve de algo casi todo el análisis matemático que conozco proviene de los libros de análisis de Herbert Amann y Joachim Escher. En el segundo tomo tratan de manera totalmente rigurosa y bastante general la derivada de Fréchet y algo de geometría diferencial.

Vaya, no conocía esos libros pero tienen muy buena pinta. Tampoco es que conozca muchos libros de análisis fuera de los más conocidos, la verdad.

Desde luego, si es verdad que casi todo el análisis que sabes es de esos libros, eso habla muy bien de ellos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2020, 04:48 pm
Respuesta #23

Restituto

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Hola. Con respecto a esto

Quiero decir: ¿por qué un parrafo como el de geómetracat:

"Si tienes una función \( f:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \), ser diferenciable en una región \( U \) quiere decir que para cada punto \( a \in U \) tienes una aplicación lineal \( L_a: \Bbb R^m \to \Bbb R^n \) que cumple la definición de diferenciabilidad (el límite que puse es \( 0 \)). Obviamente cada \( L_a \) es continua, al ser lineal. Pero podemos "recoger" todas las \( L_a \) en una aplicación (ya no lineal en general) \( L:U \to Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) definida por \( L(a)=L_a \), donde \( Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales \[ \Bbb R^m \to \Bbb R^n \]. Esta \( L \) no tiene por qué ser continua. Ser de clase \( C^1 \) es lo mismo que pedir que \( L \) sea continua. En resumen, desde este punto de vista, diferenciabilidad en \( U \) es existencia de \( L \), mientras que clase \( C^1 \) es existencia y continuidad de \( L \)"

explicando si se considera necesario aún más cada noción que aparece, no tiene cabida en un libro de texto de cálculo al uso? Lo que me lleva también a la idea de que el cálculo multivariable y el álgebra lineal se deberían enseñar de una forma mucho más integrada.

El único lugar que recuerdo donde lo hacen así es en unas notas de clase de un profesor de una universidad en Colombia que se compilaron en el libro "Cálculo Avanzado. Introducción" de Caicedo. Específicamente, ahí define:

Spoiler


(Google books me dejó ver el capítulo 3, que es donde aparece esa definición :D )
[cerrar]

Las notas no son para un primer curso de cálculo de varias variables y asume que el lector sabe de álgebra lineal.

Buen hallazgo, gracias!

19 Noviembre, 2020, 05:11 pm
Respuesta #24

Restituto

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Si sirve de algo casi todo el análisis matemático que conozco proviene de los libros de análisis de Herbert Amann y Joachim Escher. En el segundo tomo tratan de manera totalmente rigurosa y bastante general la derivada de Fréchet y algo de geometría diferencial.

Tampoco los conocía pero los miraré. A propósito la web del ejemplo de función diferenciable con derivada discontinua me pareció excelente, en otras secciones se refieren a la sutilidad de estas distinciones del cálculo multivariable que no se suelen subrayar en libros de cálculo.Lo cual por otro lado tiene su lógica desde un punto de vista puramente práctico. Como decía geómetracat hay que hacer un esfuerzo consciente de construir una función de este tipo por lo que las funciones generales en las que uno no se empeña en esto van a ser en practicamente todos los casos \( C^1 \) si son diferenciables y supongo que es normal que se use sólo una condición de suficiencia de diferenciabilidad para asegurarla. Pero por otro lado creo que conceptualmente, sería mejor, y tampoco ocuparía mucho espacio, si se pusieran todas las implicaciones en un sentido y las no-implicaciones en el otro de: existencia de parciales-diferenciabilidad-clase \( C^1 \) al explicar esto.