Autor Tema: Condición de diferenciabilidad

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16 Noviembre, 2020, 10:48 am
Respuesta #10

geómetracat

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Gracias, ahora lo veo claro. Creo que me confundí porque algunas de las fuentes que leí se referían a diferenciabilidad en  entornos de un punto o en todos los puntos de una región(donde si aplicaría la condición más fuerte de clase \( C_1 \) y otras se referían de manera mas general solo a diferenciabilidad usual en un punto que no implica ser continuamente diferenciable.

Por lo que dices, creo que aún no lo has entendido del todo. Diferenciable en una región es lo mismo que diferenciable en cada punto de la región (donde diferenciable en un punto es lo que te puse al principio). Ser diferenciable en una región no implica ser \( C^1 \). Un contraejemplo es la función que puso Masacroso: esa función es diferenciable en todo \[ \Bbb R^2 \] pero no es de clase \[ C^1 \].

Si quieres decir que las derivadas parciales son continuas, hay que decir que la función es de clase \( C^1 \) (en la región que sea), no basta con decir que es diferenciable en una región.

Espero que lo que pongo a continuación no te lie más aún, pero quizás ayude un punto de vista más abstracto. Si tienes una función \( f:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \), ser diferenciable en una región \( U \) quiere decir que para cada punto \( a \in U \) tienes una aplicación lineal \( L_a: \Bbb R^m \to \Bbb R^n \) que cumple la definición de diferenciabilidad (el límite que puse es \( 0 \)). Obviamente cada \( L_a \) es continua, al ser lineal. Pero podemos "recoger" todas las \( L_a \) en una aplicación (ya no lineal en general) \( L:U \to Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) definida por \( L(a)=L_a \), donde \( Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales \[ \Bbb R^m \to \Bbb R^n \]. Esta \( L \) no tiene por qué ser continua. Ser de clase \( C^1 \) es lo mismo que pedir que \( L \) sea continua. En resumen, desde este punto de vista, diferenciabilidad en \( U \) es existencia de \( L \), mientras que clase \( C^1 \) es existencia y continuidad de \( L \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Noviembre, 2020, 11:10 am
Respuesta #11

Restituto

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Exactamente. Mi justificación daba lugar a equívocos y lo has aclarado perfectamente. No debí haber empleado el caso de los puntos de la región refiriendome a funciones reales. Mi excusa: como sabes estoy a la vez peleándome con los fundamentos del análisis complejo. En ese contexto dado que holomorfidad en un punto \( z_0 \) implica derivabilidad en todos los puntos de algún entorno de \( z_0 \) entonces holomorfidad en una región si implica diferenciabilidad real de clase \( C^1 \)(aparte de la condición CR) en esa región. Pero en una función real la diferenciabilidad en una región no implica ser \( C^1 \) en ella sino como tú dices diferenciabilidad real en cada punto que no implica necesariamente que en la región la diferenciabilidad sea continua.

Gracias otra vez por la precisión.

16 Noviembre, 2020, 11:18 am
Respuesta #12

geómetracat

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Exacto, eso mismo. Ser holomorfo es una condición extraordinariamente fuerte, ya que implica no solo \( C^1 \), sino \( C^\infty \) (existen parciales de cualquier orden, y son todas continuas claro). Así que para funciones holomorfas no hay que preocuparse de todas estas distinciones. De hecho, como puedes ver en el ejemplo de Masacroso, funciones diferenciables pero no \( C^1 \) son bastante "raras", y normalmente construidas expresamente para servir de contraejemplo. Si en la "vida real" te topas con una función diferenciable, casi siempre va a ser de clase \( C^1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

16 Noviembre, 2020, 12:31 pm
Respuesta #13

Restituto

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Ojalá en los libros de cálculo habituales aclararan mejor estas cosas. Raramente hablan de clases de diferenciabilidad y de las sutilidades entre ser diferenciable y ser \( C^1 \) que aunque es verdad que en la práctica las funciones diferenciables  no \( C^1 \) no sean frecuentes y haya que "construirlas a propósito" creo que conceptualmente es importante y no cuesta tanto remarcar la diferencia entre diferenciable y continuamente diferenciable, incluso si está implícita cuando se habla de derivadas parciales de orden superior . He tenido que ir al libro de fundamentos de Análisis de Rudin para verlo un poco más especificado, aunque allí usan la nomenclatura \( C' \).

16 Noviembre, 2020, 12:47 pm
Respuesta #14

Restituto

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Quiero decir: ¿por qué un parrafo como el de geómetracat:

"Si tienes una función \( f:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \), ser diferenciable en una región \( U \) quiere decir que para cada punto \( a \in U \) tienes una aplicación lineal \( L_a: \Bbb R^m \to \Bbb R^n \) que cumple la definición de diferenciabilidad (el límite que puse es \( 0 \)). Obviamente cada \( L_a \) es continua, al ser lineal. Pero podemos "recoger" todas las \( L_a \) en una aplicación (ya no lineal en general) \( L:U \to Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) definida por \( L(a)=L_a \), donde \( Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales \[ \Bbb R^m \to \Bbb R^n \]. Esta \( L \) no tiene por qué ser continua. Ser de clase \( C^1 \) es lo mismo que pedir que \( L \) sea continua. En resumen, desde este punto de vista, diferenciabilidad en \( U \) es existencia de \( L \), mientras que clase \( C^1 \) es existencia y continuidad de \( L \)"

explicando si se considera necesario aún más cada noción que aparece, no tiene cabida en un libro de texto de cálculo al uso? Lo que me lleva también a la idea de que el cálculo multivariable y el álgebra lineal se deberían enseñar de una forma mucho más integrada.

16 Noviembre, 2020, 01:23 pm
Respuesta #15

geómetracat

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Es verdad que cuesta encontrar buenos libros con un enfoque teórico y riguroso del análisis real en varias variables. El de Rudin es una de las referencias estándar de análisis real pre-teoría de la medida, y de los más rigurosos. Pero la verdad es que no se me ocurre ningún libro más amigable donde esté todo hecho como me gustaría. Hay varios que están bien: los de Calculus del Apostol, el análisis en variedades de Spivak, etc. Pero ninguno de estos es todo lo que me gustaría.

También es cierto que en realidad el contexto natural en el que hablar de diferenciabilidad en varias variables es el análisis funcional, porque ya puestos no cuesta nada dar el paso a espacios de Banach (es exactamente la misma definición). Y el contexto natural para integración en varias variables es por un lado la integración de Lebesgue (integrales múltiples) y por otro lado la integración de formas diferenciales en variedades (integrales de línea, superfície, teorema de Stokes, etc.), y por supuesto nada de esto se hace en un curso de análisis real en varias variables. Quizás esto explica en parte porque es difícil encontrar buenos tratamientos matemáticos de análisis en varias variables. O quizás los haya pero yo no los conozca, que también es bastante posible.

PD: Cuando estaba escribiendo esto has puesto un mensaje nuevo, en el que te quejas de lo mismo que me quejo yo en este. Yo también me lo pregunto, pero creo que eso explicado de esa manera no lo he visto nunca en un libro de análisis en varias variables, y para mí es la mejor manera de entender la diferenciabilidad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Noviembre, 2020, 07:44 pm
Respuesta #16

Restituto

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Coincido plenamente.

Por aclarar alguna duda adicional relacionada: en el caso de que la diferenciabilidad de una función real sea en todos los puntos de una variedad, ¿esto la haría de clase \( C^\infty \)?

17 Noviembre, 2020, 08:48 pm
Respuesta #17

geómetracat

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Pues esto es problemático por cuestiones de nomenclatura más que matemáticas.

Si tienes una función real definida en una variedad diferenciable, puedes decir que \( f \) es diferenciable si lo es en cada punto, y es diferenciable en un punto si existe una carta de la estructura diferenciable \( (U, \phi) \) entorno del punto tal que la función \( f\circ \phi^{-1}: V \to \Bbb R \) (donde \( V \subseteq \Bbb R^n \), con \( n \) la dimensión de la variedad) es diferenciable en el sentido que hemos estado hablando.
En ese caso, diferenciable no implica \( C^1 \), mucho menos \( C^\infty \), y de hecho el mismo contraejemplo de Masacroso vale porque \( \Bbb R^2 \) es una variedad.

Lo que puede que te confunda es que a veces, en el contexto de la topología/geometría diferencial, se usa el nombre "función diferenciable" para función \( C^\infty \) y no para diferenciable en el sentido del hilo. Aunque es más común usar función suave ("smooth function" en inglés). En este caso hay un choque de nomenclatura, pero normalmente queda claro por el contexto a qué se refiere.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Noviembre, 2020, 09:05 pm
Respuesta #18

Restituto

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Ah, vale. Sospechaba bastante que era nomenclatura porque lo estaba mirando en inglés y a veces incluso usan "smooth" tanto para simplemente diferenciables en todos los puntos como para \( C^\infty \)  para liarlo más.

19 Noviembre, 2020, 03:42 am
Respuesta #19

Gustavo

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Hola. Con respecto a esto

Quiero decir: ¿por qué un parrafo como el de geómetracat:

"Si tienes una función \( f:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \), ser diferenciable en una región \( U \) quiere decir que para cada punto \( a \in U \) tienes una aplicación lineal \( L_a: \Bbb R^m \to \Bbb R^n \) que cumple la definición de diferenciabilidad (el límite que puse es \( 0 \)). Obviamente cada \( L_a \) es continua, al ser lineal. Pero podemos "recoger" todas las \( L_a \) en una aplicación (ya no lineal en general) \( L:U \to Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) definida por \( L(a)=L_a \), donde \( Hom(\Bbb R^m, \Bbb R^n) \) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales \[ \Bbb R^m \to \Bbb R^n \]. Esta \( L \) no tiene por qué ser continua. Ser de clase \( C^1 \) es lo mismo que pedir que \( L \) sea continua. En resumen, desde este punto de vista, diferenciabilidad en \( U \) es existencia de \( L \), mientras que clase \( C^1 \) es existencia y continuidad de \( L \)"

explicando si se considera necesario aún más cada noción que aparece, no tiene cabida en un libro de texto de cálculo al uso? Lo que me lleva también a la idea de que el cálculo multivariable y el álgebra lineal se deberían enseñar de una forma mucho más integrada.

El único lugar que recuerdo donde lo hacen así es en unas notas de clase de un profesor de una universidad en Colombia que se compilaron en el libro "Cálculo Avanzado. Introducción" de Caicedo. Específicamente, ahí define:

Spoiler


(Google books me dejó ver el capítulo 3, que es donde aparece esa definición :D )
[cerrar]

Las notas no son para un primer curso de cálculo de varias variables y asume que el lector sabe de álgebra lineal.