Autor Tema: Condición de diferenciabilidad

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15 Noviembre, 2020, 06:27 pm
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Restituto

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No tengo claro en qué circunstancias  la condición suficiente de diferenciabilidad en varias variables  reales que requiere continuidad de las derivadas parciales pasa a ser una condición necesaria. Creo que con valores vectoriales de la misma dimensión que las variables pasa a ser necesario pero no estoy seguro y en cualquier caso me gustaría entender mejor la razón.


15 Noviembre, 2020, 07:38 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Nunca pasa a ser necesaria. Por lo que dices parece que hayas visto en algún sitio que es necesaria, si es así pon la referencia.

Si tienes una función (vectorial, en general) \( f:U \to \Bbb R^n \) con \( U \subseteq \Bbb R^m \) abierto, que sea diferenciable en un punto \( a \in U \) significa que existe una aplicación lineal \( L:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \) tal que:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{||f(a+h)-f(a)-L(h)||}{||h||} =0 \].
Esta definición es totalmente general y no necesita (ni implica) que las derivadas parciales en \( a \) sean continuas (aunque sí implica que existen).

Si tienes una función vectorial con derivadas continuas en un punto, entonces es automáticamente diferenciable, pero no al revés.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Noviembre, 2020, 07:53 pm
Respuesta #2

Restituto

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Estoy confuso, sí tengo una referencia, aunque en ella se alude a la "Fréchet diferenciabilidad", que yo pensé que era una forma de referirse a la diferenciabilidad de funciones \( \mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R^m}} \) o cuya derivada forma una matriz Jacobiana. A veces se le llama también "diferenciabilidad fuerte". Pero tú pareces referirte a una noción de diferenciabilidad más débil que supongo que será la que se sobreentiende cuando no se especifica más? Si es así, en que circunstancias se debe usar una u otra?

15 Noviembre, 2020, 08:18 pm
Respuesta #3

geómetracat

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No, es lo mismo. Lo que he puesto es lo que se conoce como diferenciabilidad en el sentido de Fréchet (y si es diferenciable, la aplicación lineal \( L \) viene dada por la matriz Jacobiana).

Normalmente en el caso de funciones entre espacios de dimensión finita se omite el apelativo de Fréchet, que se usa más en situaciones más generales (aplicaciones entee espacios de Banach que pueden ser de dimensión infinita).

Cuando se exige que las parciales sean continuas, se dice que la función es de clase \( C^1 \), que es estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad. Muchos teoremas básicos necesitan funciones \( C^1 \) en las hipótesis y no basta con diferenciabilidad (por ejemplo, el teorema de la función inversa).

Pero yo nunca he visto exigir la continuidad de las parciales en la definición de diferenciabilidad. Pon la referencia esa a ver.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Noviembre, 2020, 08:21 pm
Respuesta #4

Restituto

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Vale, disculpa, no estaba leyendo la definición bien, en el caso que tengo para \( L:\Bbb R^m \to \Bbb R^n \)  en vez de \[ \lim_{h\to 0} \frac{||f(a+h)-f(a)-L(h)||}{||h||} =0 \] hay abiertos que cumplen \[ \lim_{h\to 0} \frac{||f(a+h)-f(a)-Ah||}{||h||} =0 \] donde \( A \) es un operador lineal acotado actuando en el espacio dominio. Me confunde el hecho de que se refiere a esta diferenciabilidad como una generalización a funciones vectoriales y lo asocié a las usuales donde no hay necesariamente un operador actuando en el espacio vectorial sino que se refieren a abiertos en funciones arbitrarias. Por aclararlo más, por ejemplo en la diferenciabilidad real en funciones holomorfas se exige continuidad de derivadas parciales o sea "diferenciabilidad fuerte".

15 Noviembre, 2020, 08:28 pm
Respuesta #5

Restituto

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No, es lo mismo. Lo que he puesto es lo que se conoce como diferenciabilidad en el sentido de Fréchet (y si es diferenciable, la aplicación lineal \( L \) viene dada por la matriz Jacobiana).

Normalmente en el caso de funciones entre espacios de dimensión finita se omite el apelativo de Fréchet, que se usa más en situaciones más generales (aplicaciones entee espacios de Banach que pueden ser de dimensión infinita).

Cuando se exige que las parciales sean continuas, se dice que la función es de clase \( C^1 \), que es estrictamente más fuerte que la diferenciabilidad. Muchos teoremas básicos necesitan funciones \( C^1 \) en las hipótesis y no basta con diferenciabilidad (por ejemplo, el teorema de la función inversa).

Pero yo nunca he visto exigir la continuidad de las parciales en la definición de diferenciabilidad. Pon la referencia esa a ver.
Vaya, escribí mi mensaje anterior sin leer este. Estoy siguiendo la definición de la wikipedia que ya sé que no siempre es muy de fiar y esta respuesta de math.stackexchange https://math.stackexchange.com/questions/2270060/fr%C3%A9chet-derivative-partial-derivatives que habla de if and only if.

15 Noviembre, 2020, 09:15 pm
Respuesta #6

geómetracat

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La definición de la wikipedia creo que es la misma que la que he puesto yo. Lo del MSE yo diría que el que ha puesto eso se ha equivocado.

En la diferenciabilidad siempre hay un operador lineal (en cada punto) actuando, que viene dado por la matriz Jacobiana en el punto. Por ejemplo, en el caso particular de funciones \( f:\Bbb R \to \Bbb R \) el operador lineal es multiplicar por \( f'(a) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

15 Noviembre, 2020, 11:47 pm
Respuesta #7

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16 Noviembre, 2020, 01:37 am
Respuesta #8

Masacroso

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La definición de la wikipedia creo que es la misma que la que he puesto yo. Lo del MSE yo diría que el que ha puesto eso se ha equivocado.

Efectivamente. Buscando sobre un contra-ejemplo he encontrado esto:

https://mathinsight.org/differentiable_function_discontinuous_partial_derivatives

16 Noviembre, 2020, 09:54 am
Respuesta #9

Restituto

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La definición de la wikipedia creo que es la misma que la que he puesto yo. Lo del MSE yo diría que el que ha puesto eso se ha equivocado.

Efectivamente. Buscando sobre un contra-ejemplo he encontrado esto:

https://mathinsight.org/differentiable_function_discontinuous_partial_derivatives
Gracias, ahora lo veo claro. Creo que me confundí porque algunas de las fuentes que leí se referían a diferenciabilidad en  entornos de un punto o en todos los puntos de una región(donde si aplicaría la condición más fuerte de clase \( C^1 \) y otras se referían de manera mas general solo a diferenciabilidad usual en un punto que no implica ser continuamente diferenciable.