[weimar]

Hola, muy bien,  y como serian entonces esos limites de integracion ?  y porque?

[ingmarov]

A ver, espero no estar equivocado,

\[ y=z\quad\Rightarrow\quad \rho sen(\theta)sen(\phi)=\rho cos(\phi)\quad\Rightarrow\quad \phi=arctan(csc(\theta)) \]


\[ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\bf arctan(csc(\theta))}^{\pi/2} F\cdot dv  \] 

Creo que así se integraría para la región pedida. Ese único cambio no se ve muy "amistoso", pero ese creo debería ser.

Añado

Veo que la idea de Robinlambada es muy razonable, utiliza el teorema de divergencia para calcular el flujo del campo en todo el sólido y a este resultado le restará el flujo del campo en las caras planas, resultando el flujo en la cara curva que es lo que realmente pide el problema, me lo apunto para otra ocasión, gracias Robin.



Saludos

[weimar]

Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor 

[ingmarov]

Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularía ese valor 

Sí, tampoco me parece que convenga.

¿El problema te sugiere utilizar el teorema de divergencia?

[robinlambada]

Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor 

Observa que:
\( \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\sen ^2 x}+\displaystyle\frac{cos ^2 x}{\sen ^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x} \)


\( 1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x}\rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\sen x}=\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}} \)


Saludos.

[Fernando Revilla]

Calcular $$\int \int_{S}F.ndS $$

Tecleando [tex=break]\iint_{S}F\cdot ndS[/tex] obtendrás la más estética \[ \iint_{S}F\cdot ndS \].

[weimar]

Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor 

Observa que:
\( \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\sen ^2 x}+\displaystyle\frac{cos ^2 x}{\sen ^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x} \)



\( 1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x}\rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\sen x}=\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}} \)


Saludos.

Hola , sustituyendo queda asi:

$$\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))= \cos (  \arctan  (\sqrt {1+\frac{1}{\tan^2 \theta } } ))=   $$

tambien se que $$\theta \in [0,\pi]$$ es un angulo que varia en ese intervalo, que valor de $$\theta $$ puedo tomar ??

[ingmarov]

No sé como resolver esa integral, pero el volumen de ese trozo de esfera es, como ya mencionaron

\[ V=\dfrac{\frac{4\pi}{3}}{8} \]

Por lo que la integral debe resultar  \[ \dfrac{\pi}{3} \]  (porque se multiplica por el dos que resulta de calcular la divergencia)

A este resultado se le ha de restar el flujo en las caras planas de la región.

Saludos

[weimar]

Hola, si entendí esa parte que era la octava parte del sólido esférico, solo que quería resolverlo usando integrales, pero normal no hay problema, veo que se complica mucho.
Por otro lado en la otra parte  para calcular el flujo, hice el siguiente cálculo

$$\iint_{S_2}F \cdot n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/2 \sin \theta,r/2 \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$  solo que no coincide con  la respuesta , ¿dónde estará mi error? 

[robinlambada]

Hola.

Hola, si entendí esa parte que era la octava parte del sólido esférico, solo que quería resolverlo usando integrales, pero normal no hay problema, veo que se complica mucho.
Por otro lado en la otra parte  para calcular el flujo, hice el siguiente cálculo

$$\iint_{S_2}F \cdot n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/\color{red}2\color{black} \sin \theta,r/\color{red}2\color{black} \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$  solo que no coincide con  la respuesta , ¿dónde estará mi error? 

En la parametrización hay un pequeño error (lo que marqué en rojo).

Sería: $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,\frac {r}{\sqrt[ ]{2}} \sin \theta,\frac{r}{\sqrt[ ]{2}} \sin \theta)$$