Es verdad que cuesta encontrar buenos libros con un enfoque teórico y riguroso del análisis real en varias variables. El de Rudin es una de las referencias estándar de análisis real pre-teoría de la medida, y de los más rigurosos. Pero la verdad es que no se me ocurre ningún libro más amigable donde esté todo hecho como me gustaría. Hay varios que están bien: los de Calculus del Apostol, el análisis en variedades de Spivak, etc. Pero ninguno de estos es todo lo que me gustaría.
Si sirve de algo casi todo el análisis matemático que conozco proviene de los libros de análisis de Herbert Amann y Joachim Escher. En el segundo tomo tratan de manera totalmente rigurosa y bastante general la derivada de Fréchet y algo de geometría diferencial.
La teoría de la medida sólo aparece a partir del tercer tomo, y en una generalidad también algo inusual (se trata la integral de Bochner en vez de la de Lebesgue, la de Lebesgue se ve como un caso especial de la de Bochner con alguna que otra particularidad). Sin embargo en teoría de la medida se queda muy corto el libro en muchos aspectos (por ejemplo ni se menciona el teorema de Radon-Nikodym).
Como no he leído muchos otros libros de análisis (análisis real me refiero), en verdad sólo otros dos donde no se toca especialmente el cálculo multivariable, no sé cómo serán de "buenos" pero no tuve muchos problemas con los antes citados, al menos hasta la mitad del tercer tomo que es donde me quedé.