Autor Tema: Teorema de Gauss

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Noviembre, 2020, 03:52 pm
Leído 321 veces

weimar

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 74
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Hola, hice lo siguiente: Aplicando el teorema de Gauss , tenemos que $$\mbox{ div}(F)=2$$ y usando cambio de variables a coordenadas esfericas $$x=\rho \cos \theta \sin \phi , y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \phi ,    \rho\in [0,1], \theta \in [0,\pi], \phi\in [\frac{3\pi}{4},\pi].$$ Sustituyendo en la integral nos da que :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{3\pi/4}^{\pi} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Pero la respuesta sale : $$\pi(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4})-\frac{2}{3}$$ donde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:
 


15 Noviembre, 2020, 04:21 pm
Respuesta #1

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,426
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola:
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Hola, hice lo siguiente: Aplicando el teorema de Gauss , tenemos que $$\mbox{ div}(F)=2$$ y usando cambio de variables a coordenadas esfericas $$x=\rho \cos \theta \sin \phi , y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \phi ,    \rho\in [0,1], \theta \in [0,\pi], \phi\in [\frac{3\pi}{4},\pi].$$ Sustituyendo en la integral nos da que :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{3\pi/4}^{\pi} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Pero la respuesta sale : $$\pi(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4})-\frac{2}{3}$$ donde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:


A bote pronto , según la parametrización que has elegido , el dominio de  \( \phi\ \) es: \( \phi\in [\dfrac{\pi}{4},\displaystyle\frac{\pi}{2}] \)

Saludos.
P.D.: mira el documento adjunto, lo único que cambia del documento es \( \phi\ \) por \( \theta \), el ángulo \( \phi\ \) se debe medir desde el semieje positivo Z en sentido horario.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Noviembre, 2020, 05:02 pm
Respuesta #2

weimar

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 74
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola, es verdad , bueno siendo asi tenemos :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$ que sigue siendo diferente de la respuesta  ???

15 Noviembre, 2020, 05:47 pm
Respuesta #3

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,426
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, es verdad , bueno siendo asi tenemos :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$ que sigue siendo diferente de la respuesta  ???
Me parece que la clave puede estar en  que  no se puede aplicar directamente el teorema de la divergencia solamente.
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Pues me descoloca un poco lo que marqué en rojo. Entonces con la divergencia no tiene por que salir , ya que el vector unitario perpendicular al plano \( z=0 \) sería \( (0,0,-1) \) sentido hacia los valores negativos de z.

Prueba a calcularlo directamente con la integral de superficie.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Noviembre, 2020, 06:23 pm
Respuesta #4

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,890
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Una corrección, cambié sec por csc

S mal no recuerdo, el teorema de divergencia se aplica cuando la superficie es cerrada, por lo que con la integral

...

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})...


Ups, se está integrando en una región distinta a la pedida, creo que los límites para \[ \phi \] debeían ser de \[ arctan({\bf csc}({\bf\theta})) \] hasta \[ \frac{\pi}{2} \]


se está calculando el fujo del campo sobre la cara curva de la región y sobre las dos caras planas.


La cara en z=0 si el vector n debe apuntar hacia afuera de la región estará apuntando hacia abajo z<0 por lo que esta cara debería quedar excluida. Luego la superficie ya no es cerrada.

Son algunas ideas, hace tiempos no practico estas cosas.




Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Noviembre, 2020, 08:36 pm
Respuesta #5

weimar

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 74
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola, bueno entonces cerre la superficie y tenho que calcular las 2 integrales a seguir:

$$ \int \int_{S_1}F.n_1 dS $$ con $$S_1: z=0, x^2+y^2=1$$ asi paremtrizando y haciendo calculos resulta $$  \int \int_{S_1}F.n_1 dS=0$$

Por otro lado

$$\int \int_{S_2}F.n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/2 \sin \theta,r/2 \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$ Por tanto

$$\int \int_{S}F.n dS= \frac{\pi \sqrt{2}}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3},$$  solo que no coincide con la respuesta, donde estara mi error :banghead:

15 Noviembre, 2020, 10:39 pm
Respuesta #6

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,426
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Solo pide calcular el flujo sobre la superficie de la esfera, así lo entiendo yo ahora, no sobre el plano \(  z=0 \) ni sobre el plano \( z=y \)

El flujo sobre el plano z=0 es cero como bien has calculado.

Solo debes restarle al calculo de la divergencia que calculaste, el del fljo del plano \( z=y \)

Fíjate que \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) es la cuarta parte del volumen de la esfera de radio unidad, que es la que tienes,
pero como la divergencia te da 2 y el casquete esferico que debes calcular su volumen es la octava parte del volumen de la esfera, pero al multiplicarlo por 2 que es la divergencia. Te da que la integral de volumen es \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \)
A esto tienes que restarle el flujo de los planos,como hemos visto ambos el flujo en z=0 es cero y el fujo en elplano z=y

No lo he calculado del todo , pues se me hace tarde, a ver si mañana lo termino, llego a:

\( F(y=z)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\int_{0}^{t((x)}(-1+2y)dydx \), con \(  t(x)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}} \)

\( F(y=z)=-\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\left({\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}\right)dx \)

Si no me he equivocado la 2ª integral queda \( \displaystyle\frac{2}{3} \) (*)pero el signo menos debería ser positivo

Falta terminar la primera. (pero tiene pinta de ser lo que fata \( -\pi\dfrac{\sqrt{2}}{4} \), el factor \( \pi \) puede venir de un cambio de coordenadas a trigonometrica )

Saludos.

P.D.: ruego revisión (corregido el signo del resultado)


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Noviembre, 2020, 11:11 pm
Respuesta #7

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,426
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Efectivamente \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}dx=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{4}\pi \)

Pero debería salir con signo cambiado.

Saludos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

16 Noviembre, 2020, 12:14 am
Respuesta #8

weimar

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 74
  • País: br
  • Karma: +0/-0
Hola, entonces esta mal esto:
$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$  ???
Pues como dices en tus calculos debe ser un octavo del volumen de la esfera multiplicado por dos, que es: $$\frac{\pi}{3}$$

Por otro lado en la parte de :  $$\varphi(x,y)=(x,y,y)  \Rightarrow{ \varphi_{x}\times \varphi_{y}=(0,-1,1)}$$ ese producto vectorial debe ser paralelo an vector $$k=(0,0,1)$$ siendoa si cual debo tomar : $$(0,-1,1)$$ o $$(0,1,-1)$$  :-\ :-\ :-\

16 Noviembre, 2020, 03:29 pm
Respuesta #9

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,890
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola, entonces esta mal esto:
$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$  ???
...

Eso está mal por dos razones:
1. No puedes aplicar teorema de divergencia a una superficie abierta como es la superficie de la esfera comprendida entre los planos dados.

2. Si te pidieran el flujo del campo en el sólido formado por la esfera y los planos dados, esos límites no corresponden a la región que te habrían descrito. (No es lo que te han pedido)
Tus límites consideran la región similar la la imagen siguiente:

 


Esa región no está comprendida entre los planos dados, es decir tus límites de integración estarían mal.

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...