Autor Tema: Demostración continuidad por definición.

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13 Noviembre, 2020, 10:14 pm
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Albersan

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Hola:

Tengo el siguiente problema que dice así:

Sea \(  f(x,y)=\displaystyle\frac{xy^3}{x^2+y^6}   \)  si  \(  (x,y)\neq(0,0)   \)
                       \(                 0                                       \)          si        \(  (x,y)=(0,0)            \)       Los problemas a) y b) se como resolverlos pero los necesito para c)

a)Calcule el límite cuando \(  (x,y) \rightarrow{(0,0)}   \)  de  la función a través del camino \(  x=0  \).

reemplazando \(  x=0  \)  en la función \(   f(x,y)= 0/y^6 =0  \)  por lo tanto \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{0}=0  \)

b)  Calcule el límite cuando \(  (x,y) \rightarrow{(0,0)}   \)  de  la función a través del camino \(  x=y^3  \)

reemplazando \(  x=y^3  \)  en la función  \(  f(x,y) = \displaystyle\frac{y^3y^3}{y^6+y^6}=1/2  \) por lo tanto \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to(0,0)}{f(x,y)}=1/2  \)

Con a) y b) queda demostrado que por distintos caminos la función no es continua.

c)Demuestre que la función no es continua en \(  (0,0)  \) en términos de \(  (\epsilon,\delta)  \)


Sé que se asume que \(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{f(x,y)}=f(0,0)=0 \) es decir continuidad, y se debe llegar a una

contradicción usando los valores finales de a) y b). Pero no sé como elaborar la demostración.


Gracias

13 Noviembre, 2020, 11:23 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

a) y b) están bien demostrados.

c) Para que f sea continua en (0,0) se ha de cumplir :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \exists{\delta}>0 \ \ / \ \ \left |{f(x,y)}\right |<\epsilon, \ \ si \ \left\|{(x,y)}\right\|< \delta \)  Exp. 1

Considerando un \( 0<\epsilon<\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{1/2-\epsilon>0} \)
Luego \( \exists{ \ 0<\epsilon_1<1/2-\epsilon} \)

El resultado del apartado b) implica para \( \epsilon_1 \) :

\( \exists{\delta_1>0} \ / \ \left |{f(x,y)-1/2}\right |<\epsilon_1, \ \ si \ \left\|{(x,y)}\right\|<\delta_1, \ x=y^3 \)

Desarrollando se llega a :

\( 0<\epsilon<1/2-\epsilon_1<f(x,y)<1/2+\epsilon_1, \ \ si \ \left\|{(x,y)}\right\|<\delta_1, \ x=y^3 \Rightarrow{\epsilon<f(x,y) \ \ si \ \left\|{(x,y)}\right\|<\delta_1, \ x=y^3} \) Exp. 2

Pero de la Exp. 1 se desprende :

\( \epsilon>f(x,y), \ \ si \ \left\|{(x,y)}\right\|<\delta, \ x=y^3 \) Exp 3

La Exp 2 y 3 constituyen una contradicción. Entonces ...


Saludos

15 Noviembre, 2020, 04:02 pm
Respuesta #2

Albersan

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Hola delmar, tu demostración me ha dejado sin dudas, pero también quiero entender la que realiza mi profesor.

El dice:   Si \(  \displaystyle\lim_{(x,y)=(0,0)}{f(x,y)} =f(0,0)=0  \)   El límite a través de cualquier camino hacia \(  (0,0)  \) debería ser el mismo.

Demostraremos que \(  f  \) no es continua en (0,0).

  1)   \(  \exists{\epsilon>0}(  \) por ejemplo \(  \epsilon=\displaystyle\frac{1}{4}  \)) tal que \(  \forall{\delta>0}  \)   \(  \exists{x}  \)  con \(  0<\left |{x-0}\right |<\delta  \) pero no  \( \left |{f(0,0)-0}\right |<\epsilon  \)


Lo que está en rojo no lo entiendo :


2) \(  \exists{\epsilon>0} \) tal que \(  \forall{\delta>0}  \) con \(  x=y^3  \)  \(  0<\left\|{(x,y)-(0,0)}\right\| <\delta \) y \(  \left |{f(x,y)-0}\right |=1/2<1/4=\epsilon  \) lo que es una contradicción.


Se dice que \(  \forall{\delta}  \)  \(  \exists{x}  \)  ¿Que ocurre si éstos x no estan en \(  x=y^3  \)

Gracias delmar.