Autor Tema: División de una cuerda de una circunferencia

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11 Noviembre, 2020, 12:43 am
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ancape

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Dados una circunferencia c, un punto interior a ésta P y un número \( 0\leq{r}\leq{}1 \), trazar una cuerda AB que pase por P y tal que PA/PB  = r

11 Noviembre, 2020, 02:06 am
Respuesta #1

ciberalfil

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Puede que no haya solución a ese problema. Piensa que si el punto es el centro entonces siempre se cumple que:

\( \mathbf {PA/PB}=1 \)


En general puede decirse que para cualquier punto interior la relación entre los segmentos de sus cuerdas presenta un máximo y un mínimo que no necesariamente debe incluir al valor de \( r \), que se supone dado. A simple vista se ve que el mínimo siempre lo da la cuerda que pasa por el centro y el máximo su perpendicular, por lo que si el punto dista \( d \) del centro y R es el radio de la circunferencia dichos valores valen:


\( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d}\qquad\qquad M=1 \)


Está claro que \( 0\leq{}r\leq{}1 \) no necesariamente se encuentra en el rango \( m\leq{}r\leq{}1 \)

PD: En este comentario se supone que la relación se toma siempre del segmento menor al mayor.

11 Noviembre, 2020, 05:43 pm
Respuesta #2

ancape

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Estoy de acuerdo contigo en que dado un punto P y un valor \( 0\leq{r}\leq{1} \), no siempre habrá solución pues r debe ser mayor que un valor mínimo que claramente sólo depende de la distancia de P al centro de la circunferencia. Este valor mínimo es 1 en el propio centro y 0 en los puntos del borde de la circunferencia. Aparece pues un nuevo problema: "Dados una circunferencia c, un punto interior a ésta P y un número \( r_0 \)≤r≤1, trazar una cuerda AB que pase por P y tal que PA/PB  = r y determinar el mínimo valor de \( r_0 \) para que exista tal cuerda"

11 Noviembre, 2020, 08:10 pm
Respuesta #3

ciberalfil

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Bueno, eso ya es otra cosa, si admitimos que \( r \) está en el rango que permite \( P \) entonces el problema puede resolverse. Admitimos entonces que \( r \) está en el rango:

\( \displaystyle m=\ \displaystyle\frac{R-d}{R+d}\ \leq{}\ r\ \leq{}\ M=1 \)

En ese caso el problema es sencillo. Tomemos unos ejes con origen en O, centro de la circunferencia. El eje Y será el radio que contiene a P y el eje X su perpendicular por el centro. Barremos ahora la circunferencia con un haz de rectas de pendiente \( t \) y que pase por P:

\( x^2+y^2=R^2\ \ ;\ \  y=tx+d \)

y determinamos los puntos de corte del haz con la circunferencia,\(  A(t) \) y \( B(t) \). El problema se reduce ahora a determinar las distancias PA y PB y determinar su relación. La cuerda solución es la recta del haz que satisface la condición. La solución sintética no parece fácil, pero la analítica no tiene dificultad. ¿Me sigues?

Salu2

12 Noviembre, 2020, 12:05 am
Respuesta #4

ancape

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La expresión \( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d}\leq{r}\leq{1=M} \) que determina los valores máximo, M=1, y mínimo \( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d} \) del cociente \( \displaystyle\frac{PB}{PA} \) es cierta pero no sé cómo la has obtenido.
El razonamiento del haz de rectas que pasen por P, salvo que haya otro procedimiento más sencillo que no conozco, conduce a resolver una ecuación de 2º grado que da las abcisas de A y B. Para obtener las ordenadas debemos resolver la ecuación en y \( x^2+y^2=R^2 \). una vez hallados los puntos A y B, determinar su distancia a P y hacer el cociente igualar al número r dado y despejar t. El procedimiento es correcto pero muy farragoso. Una solución sintética merece ser buscada.

Saludos

12 Noviembre, 2020, 12:08 am
Respuesta #5

ciberalfil

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Yo le he dado algunas vueltas y no la he visto, no digo que no la haya pero no debe ser fácil. Habrá que seguir buscando.

12 Noviembre, 2020, 12:27 am
Respuesta #6

martiniano

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Hola.

Una opción es la siguiente:

Spoiler

La relación \( r \) queda fijada por dos puntos \( A,B \) (perdón por el cambio en la nomenclatura) que podemos alinear con el centro de la circunferencia y el mismo \( P \). Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro \( AB \). La potencia de \( P \) sobre esa circunferencia es a \( PA \) como la potencia de \( P \) sobre la circunferencia del enunciado a la distancia de \( P \) a uno de los dos extremos de la cuerda buscada (en mi dibujo \( J \)).
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Un saludo.

12 Noviembre, 2020, 12:46 am
Respuesta #7

ancape

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 :aplauso:Efectivamente, lo he probado y funciona siempre \( \displaystyle\frac{PA}{PB}=\displaystyle\frac{PJ}{PK} \), es decir que la cuerda KJ es la buscada que hace que el cociente  \( \displaystyle\frac{PJ}{PK} \) sea un número dado de antemano. Sólo me falta que expliques cómo has obtenido la construcción y resaltar en el dibujo la cuerda solución.

Saludos

12 Noviembre, 2020, 08:41 am
Respuesta #8

martiniano

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Hola.

Se supone que la explicación es lo que hay en spoiler debajo del dibujo. Si tienes alguna duda concreta con ella expónla y te la intento explicar con más detalle.

Un saludo.

12 Noviembre, 2020, 01:11 pm
Respuesta #9

robinlambada

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He encontrado otra solución.
Spoiler
Aunque no estoy satisfecho, pues no es demasiado geométrica, puede ser interesante y a ver si alguien lo pule un poco más.

Trazo una perpendicular a la recta diametral que une P y el centro O de la circunferencia y pasa por el propio P, por construcción \( |CP|=|PD|=d \)

Parto de la idea de Martiniano de potencia de un punto interior a una circunferencia.

La potecia de P respecto a la circunferencia es \( |CP|\cdot{}|PD|=d^2 \), esta potencia es la misma para cualquier cuerda que pase por el punto P

Por ello sean A y B los puntos de la circunferencia  alineados con P buscados, es decir que su razón de distancias es r.

tenemos que: \( |PA|\cdot{}|PB|=d^2 \)  (1) y por condición del enunciado \( \displaystyle\frac{|PA|}{|PB|}=r \)  (2)

De (1) y (2) obtenemos \( |PA|^2=rd^2 \)

lo que nos recuerda al teorema de la altura en un triángulo rectángulo de base \( r+d^2 \) y altura \( |PA| \)

Por tanto basta construir dicho triángulo para obtener el segmento \( PA \), que será la altura conocidos \( d=|PD \)| y \( r \).


Lo que no me gusta es que no doy un método para obtener geométricamente \( d^2 \) a partir de d

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Saludos.
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