[ancape]

Dados una circunferencia c, un punto interior a ésta P y un número \( 0\leq{r}\leq{}1 \), trazar una cuerda AB que pase por P y tal que PA/PB  = r

[ciberalfil]

Puede que no haya solución a ese problema. Piensa que si el punto es el centro entonces siempre se cumple que:

\( \mathbf {PA/PB}=1 \)

En general puede decirse que para cualquier punto interior la relación entre los segmentos de sus cuerdas presenta un máximo y un mínimo que no necesariamente debe incluir al valor de \( r \), que se supone dado. A simple vista se ve que el mínimo siempre lo da la cuerda que pasa por el centro y el máximo su perpendicular, por lo que si el punto dista \( d \) del centro y R es el radio de la circunferencia dichos valores valen:

\( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d}\qquad\qquad M=1 \)

Está claro que \( 0\leq{}r\leq{}1 \) no necesariamente se encuentra en el rango \( m\leq{}r\leq{}1 \)

PD: En este comentario se supone que la relación se toma siempre del segmento menor al mayor.

[ancape]

Estoy de acuerdo contigo en que dado un punto P y un valor \( 0\leq{r}\leq{1} \), no siempre habrá solución pues r debe ser mayor que un valor mínimo que claramente sólo depende de la distancia de P al centro de la circunferencia. Este valor mínimo es 1 en el propio centro y 0 en los puntos del borde de la circunferencia. Aparece pues un nuevo problema: "Dados una circunferencia c, un punto interior a ésta P y un número \( r_0 \)≤r≤1, trazar una cuerda AB que pase por P y tal que PA/PB  = r y determinar el mínimo valor de \( r_0 \) para que exista tal cuerda"

[ciberalfil]

Bueno, eso ya es otra cosa, si admitimos que \( r \) está en el rango que permite \( P \) entonces el problema puede resolverse. Admitimos entonces que \( r \) está en el rango:

\( \displaystyle m=\ \displaystyle\frac{R-d}{R+d}\ \leq{}\ r\ \leq{}\ M=1 \)

En ese caso el problema es sencillo. Tomemos unos ejes con origen en O, centro de la circunferencia. El eje Y será el radio que contiene a P y el eje X su perpendicular por el centro. Barremos ahora la circunferencia con un haz de rectas de pendiente \( t \) y que pase por P:

\( x^2+y^2=R^2\ \ ;\ \  y=tx+d \)

y determinamos los puntos de corte del haz con la circunferencia,\(  A(t) \) y \( B(t) \). El problema se reduce ahora a determinar las distancias PA y PB y determinar su relación. La cuerda solución es la recta del haz que satisface la condición. La solución sintética no parece fácil, pero la analítica no tiene dificultad. ¿Me sigues?

Salu2

[ancape]

La expresión \( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d}\leq{r}\leq{1=M} \) que determina los valores máximo, M=1, y mínimo \( m=\displaystyle\frac{R-d}{R+d} \) del cociente \( \displaystyle\frac{PB}{PA} \) es cierta pero no sé cómo la has obtenido.
El razonamiento del haz de rectas que pasen por P, salvo que haya otro procedimiento más sencillo que no conozco, conduce a resolver una ecuación de 2º grado que da las abcisas de A y B. Para obtener las ordenadas debemos resolver la ecuación en y \( x^2+y^2=R^2 \). una vez hallados los puntos A y B, determinar su distancia a P y hacer el cociente igualar al número r dado y despejar t. El procedimiento es correcto pero muy farragoso. Una solución sintética merece ser buscada.

Saludos

[ciberalfil]

Yo le he dado algunas vueltas y no la he visto, no digo que no la haya pero no debe ser fácil. Habrá que seguir buscando.

[martiniano]

Hola.

Una opción es la siguiente:

Spoiler

La relación \( r \) queda fijada por dos puntos \( A,B \) (perdón por el cambio en la nomenclatura) que podemos alinear con el centro de la circunferencia y el mismo \( P \). Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro \( AB \). La potencia de \( P \) sobre esa circunferencia es a \( PA \) como la potencia de \( P \) sobre la circunferencia del enunciado a la distancia de \( P \) a uno de los dos extremos de la cuerda buscada (en mi dibujo \( J \)).

[cerrar]

Un saludo.

[ancape]

 :aplauso:Efectivamente, lo he probado y funciona siempre \( \displaystyle\frac{PA}{PB}=\displaystyle\frac{PJ}{PK} \), es decir que la cuerda KJ es la buscada que hace que el cociente  \( \displaystyle\frac{PJ}{PK} \) sea un número dado de antemano. Sólo me falta que expliques cómo has obtenido la construcción y resaltar en el dibujo la cuerda solución.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Se supone que la explicación es lo que hay en spoiler debajo del dibujo. Si tienes alguna duda concreta con ella expónla y te la intento explicar con más detalle.

Un saludo.

[robinlambada]

He encontrado otra solución.

Spoiler

Aunque no estoy satisfecho, pues no es demasiado geométrica, puede ser interesante y a ver si alguien lo pule un poco más.

Trazo una perpendicular a la recta diametral que une P y el centro O de la circunferencia y pasa por el propio P, por construcción \( |CP|=|PD|=d \)

Parto de la idea de Martiniano de potencia de un punto interior a una circunferencia.

La potecia de P respecto a la circunferencia es \( |CP|\cdot{}|PD|=d^2 \), esta potencia es la misma para cualquier cuerda que pase por el punto P

Por ello sean A y B los puntos de la circunferencia  alineados con P buscados, es decir que su razón de distancias es r.

tenemos que: \( |PA|\cdot{}|PB|=d^2 \)  (1) y por condición del enunciado \( \displaystyle\frac{|PA|}{|PB|}=r \)  (2)

De (1) y (2) obtenemos \( |PA|^2=rd^2 \)

lo que nos recuerda al teorema de la altura en un triángulo rectángulo de base \( r+d^2 \) y altura \( |PA| \)

Por tanto basta construir dicho triángulo para obtener el segmento \( PA \), que será la altura conocidos \( d=|PD \)| y \( r \).


Lo que no me gusta es que no doy un método para obtener geométricamente \( d^2 \) a partir de d

[cerrar]

Saludos.