[Ricardo Boza]

Hola, Estoy seguro de que la respuesta a ambas cuestiones es positiva, pero si me lo podéis confirmar os lo agradezco.

Supongamos tener \(f_n=\dfrac{1}{(1+x)^n}\) con \(x\in [a,+\infty), \: a>0\).

Quiero estudiar su convergencia:

\(M_n=\displaystyle\sup_{x\in [a,+\infty)} f_n(x)=\dfrac{1}{(1+a)^n}\)

Veo que:

\(\displaystyle 0\le \sum_n f_n\le \sum_n M_n=\sum_n \dfrac{1}{(1+a)^n}={\huge[}\text{Como}\: 1+a>1{\huge]}\Longrightarrow \sum_n M_n\: \text{converge}\)

Por el criterio mayorante de Weierstrass, \(\sum_n f_n\) converge uniformemente.

Pregunta: ¿Ya no tengo que ver la convergencia puntual? Puesto que si converge uniformemente, lo hace puntualmente (aunque no se sepa a qué).


Supongamos que hubiese usado el criterio de la raíz:

Me pregunto si \(\displaystyle\sum_n \dfrac{1}{(1+x)^n}\) converge, y veo lo siguiente:

\(\displaystyle \lim_n \sup \sqrt[n]{\dfrac{1}{(1+x)^n}}=\lim_n \sup \dfrac{1}{1+x}<1\Longleftrightarrow x>0,\) lo cual es cierto para todo \(x\in [a,+\infty)\). Entonces \(\displaystyle \sum_n \dfrac{1}{(1+x)^n}\) converge puntualmente \(\forall x\), lo cual no quiere decir que dicha convergencia sea uniforme.

Gracias,

Saludos.

[geómetracat]

Sí a ambas.

Sobre la primera, fíjate que para cada \( x \in [a,+\infty) \) tienes que \[ 0 \leq \sum_n f_n(x) \leq \sum_n M_n \], lo que implica la convergencia de la serie numérica \[ \sum_n f_n(x) \] (y por tanto,  la convergencia puntual de la serie de funciones).

Sobre la segunda, el criterio de la raíz te da convergencia puntual para cada \( x>0 \), pero en principio no es suficiente para asegurar la convergencia uniforme. Imagínate que hubieras tenido la misma serie pero con \( x \in (0,+\infty) \). Ahí la serie no converge uniformemente, pero sin embargo el criterio de la raíz te sigue dando convergencia puntual en todo el dominio.

[Ricardo Boza]

Hola geómetra,

Gracias. Sólo una aclaración: según creo, la serie en \((0,+\infty)\) sí converge uniformemente; esto se deduce de que puedo hacer \(a\to 0\), y el criterio mayorante sigue dando que \(0< \dfrac{1}{1+a}<1\) para todo \(a\in (0,+\infty)\), por lo que \(\displaystyle \sum_n \dfrac{1}{(1+a)^n}\) converge.

[geómetracat]

No. La serie converge uniformemente en todos los intervalos de la forma \( [a,+\infty) \) con \( a>0 \), pero no en \( (0,+\infty) \). Para verlo, usando la notación \[ S_m(x)=\sum_{k=1}^m f_k(x), S = \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \], tienes que para cada \( m \in \Bbb N \), \[ \sup_{x \in (0,+\infty)} |S_m(x) - S(x)| = \sup_{x \in (0,+\infty)} \left| \sum_{k=m}^\infty f_k(x) \right| = +\infty \], pues tomando \( x \) suficientemente próximo a cero puedes hacer la suma tan grande como quieras.

Esto quiere decir que la sucesión de sumas parciales \( S_n \) no converge uniformemente a \( S \), que es lo mismo que decir que la serie no converge uniformemente.

El criterio M no funciona aquí porque en \( (0,+\infty) \) solo puedes acotar las funciones por \( 1 \), pero \( \sum_n 1 \) diverge.