Autor Tema: Área mínima

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Noviembre, 2020, 12:57 pm
Leído 179 veces

ancape

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 167
  • País: es
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
Otro reto. Recordar que esta sección sólo admite demostraciones con geometría sintética. No analítica.

Dados un par de rectas r,s que se cortan en el punto O y un punto P situado en una de las cuatro zonas
en que r y s dividen al plano, trazar una recta que pase por P y se apoye en r y s en los puntos A,B
de forma que P pertenezca al segmento AB y el área del triángulo OAB sea mínima.
 [attachment id=0]

10 Noviembre, 2020, 02:58 pm
Respuesta #1

sugata

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,829
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Entiendo que A y B no son dados, entonces.

Spoiler
Debe ser perpendicular a una de las dos rectas pasando por P. Creo.....
[cerrar]
Sin seguridad. Lo miro más tarde.

10 Noviembre, 2020, 10:49 pm
Respuesta #2

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,517
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.
Mi solución   
Spoiler
El triángulo de área mínima es el que cumple que el punto dado P equidista de las aristas A y B, es decir es el que sería el punto medio del lado \( \overline{AB} \)

Indico en forma de bosquejo la idea de demostración, para ello parto del triángulo así construido y se puede demostrar que cualquier otro tiene área mayor.


Parto del triángulo \( OAB \) , con \( P \) punto medio del segmento \( \overline{AB} \)

Si trazamos otro triángulo que pase por \( P \), por ejemplo  \( OA_1B_1 \) , basta girar el triángulo \( BPB_1 \) 180º en torno al punto \( P \), y se comprueba fácilmente que el área de este es menor que el área del triángulo \( APA_1 \), por tanto el área ganada por el nuevo triángulo   \( OA_1B_1 \)  es mayor que el área perdida , partiendo del triángulo \( OAB \)

Lo mismo sucede si giramos el segmento \( \bar{AB} \) en sentido contrario, ahora se trasladaría el triángulo  \( APA_1 \) sobre el \( BPB_1 \)  y se vería que en este caso el área del primero es menor , siendo igualmente el área perdida menor que el área ganada.

Saludos.
P.D.: entiendo que mi idea no es muy elegante.
[cerrar]
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

11 Noviembre, 2020, 12:03 am
Respuesta #3

ancape

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 167
  • País: es
  • Karma: +0/-3
  • Sexo: Masculino
 :aplauso: :aplauso: :aplauso:

¡¡Por supuesto que la demostración es muy elegante¡¡. En el mundo matemático, la demostración más elegante es la que necesita menos artillería.

De paso, esta prueba demuestra otro resultado importante en el mundo de las cónicas y que tenía una demostración utilizando el concepto de cuaterna armónica.

"La tangente en cualquier punto de una hipérbola corta a sus asíntotas determinando un segmento cuyo punto medio es el punto de contacto P con dicha cónica"
 
Spoiler
[attachment id=0]
[cerrar]

Por otra parte un conocido resultado sobre hipérbolas (no muy fácil de demostrar, te animo a que des una demostración sencilla) asegura que los triángulos que forma cualquier tangente a una hipérbola con sus asíntotas tienen todos el mismo área.
De aquí deducimos que el área mínima se obtiene trazando la hipérbola de asíntotas las rectas dadas y pasa por P y luego trazando la tangente en P.
 
Spoiler
[attachment id=1]
[cerrar]