Autor Tema: integral de superficie de campo vectorial

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08 Noviembre, 2020, 03:04 pm
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weimar

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Calcular $$\int \int_{S}F.dS$$ donde $$F=(2y,-y,3)$$ y $$S$$ una parte del plano $$x+2y+z=0$$ contenida en el interior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=9$$ orientada con normal apuntando para arriba.

Hice lo siguiente parametrize el plano por $$\varphi (u,v)=(u,v,-u-2v) \Rightarrow{  \varphi_{u} \times \varphi_{v}=(1,2,1)
 }$$  y $$F(\varphi(u,v))=(2v,-v,3)$$ luego colocando todo en la integral tenemos: $$\int \int_{D_{u,v}} 3 dS= 3\mbox{Area} (D_{u,v}).$$

Ahora para calcular $$D_{u,v}$$ hice la interseccion de la superficies y me quedo : $$2x^2+5y^2+4xy=9$$ osea $$2u^2+5v^2+4uv=9$$ solo que a partir de ai en verdad necesito el area de esa elipse, como calculo eso de una forma facil   :-\ :-\:banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

08 Noviembre, 2020, 06:16 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Revisa esto,  ¿Qué pasa si rotamos el campo y el plano en igual ańgulo?

La proyección sobre el plano xy del vector normal al plano dado forma con el eje  de las x positivas un ángulo \[ \theta \] tal que: \[ tan(\theta)=2,\; cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{5}},\; sen(\theta)=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \].

Aplicas la matriz de rotación  rotamos todo un ángulo de \[ \bf -\theta \] en torno al eje z.

\[ \begin{bmatrix}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}&{\dfrac{2}{\sqrt{5}}}&{0}\\{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}}&{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \]

Creo que eso simplificará el problema.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

09 Noviembre, 2020, 02:20 pm
Respuesta #2

weimar

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Entendi gracias. Solo me gustaria saber  si podria resolver el problema sin pasar por esas rotaciones  :-\.

09 Noviembre, 2020, 08:00 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola

Claro que se puede. Lo que se ha hecho es correcto los parámetros se pueden denominar como  x=u, y=v entonces se tiene \( 2x^2+5y^2+4xy=9\Rightarrow{(2x^2+4xy+2y^2)+3y^2=9}\Rightarrow{2(x+y)^2+3y^2=9} \) de acá se puede despejar x :

\( \left |{x+y}\right |=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{9-3y^2}{2}}\Rightarrow{x=-y\pm{\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{9-3y^2}{2}}}} \)

Entonces hay que integrar primero respecto a x manteniendo constante y y luego respecto a y, hay que hallar sus límites.

Saludos

09 Noviembre, 2020, 10:38 pm
Respuesta #4

weimar

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Hola, no puedo ver cuales serian los limites de integracion  ???

09 Noviembre, 2020, 11:25 pm
Respuesta #5

delmar

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Se puede resolver con lo que te he descrito; pero hay una forma muy fácil, se trata de hallar el área de la proyección sobre el plano XY de un círculo de radio 3 que pasa por el origen, existe una fórmula muy sencilla que relaciona amba áreas \( \displaystyle\frac{A_{proyectada}}{A_{circulo}}=cos \ \theta \) donde \( \theta \) es el ángulo entre el plano del círculo y el plano de la proyección (plano XY) y conincide con el ángulo entres los vectores normales de ambos planos. Se puede utilizar el producto interno de los vectores \( \vec{k}, \ \ (1,2,1)\Rightarrow{<(0,0,1),(1,2,1)>=\left\|{(0,0,1)}\right\| \ \left\|{(1,2,1)}\right\|} \ cos \theta \) de ahí se despeja y se obtiene el área proyectada.

Saludos

12 Noviembre, 2020, 11:49 pm
Respuesta #6

weimar

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Hola,  y como sabes que el area de la proyeccion sobre el plano XY es el circulo de radio $$3$$ es haciendo $$z=0$$ en la esfera  ??, pensaba que la proyeccion en el plano XY,  era la interseccion entre la esfera y el plano