Hola a todos, espero que alguien pueda conducirme en la dirección correcta. Mi problema esta al final pero pondré el desarrollo (lo más reducido que pueda) que me lleva ahí.
a) \( A(n) : n! > 2^{n-1} n \) pertenece al conjunto de los números naturales \( \{1,2\} \)( El enunciado).
Base case \( A(3) : 3! = 6 > 2^{3 -1} = 2^2 = 4 \) ( caso inicial probado)
(pasos inductivos) Desarrollo=> \( A(n) \implies A(n + 1) \) :
\[ (n + 1)! = (n + 1)\cdot n! > (n + 1)\cdot 2 ^{n - 1} > ???? \]
Como resuelvo esto : para mi no tiene simplificación pero según las respuestas de mi profesor debería llegar a \( 2^n \) que logicamente si seria prueba de que es mayor.
\( (n + 1) \cdot 2 ^{n - 1} \) Y por mucho que desarrolle no se me ocurre nada para simplificar.
Espero alguien me pueda ayudar, un saludo y gracias.
Corregido \( \LaTeX \) y ortografía.
He escrito las matemáticas de tu post utilizando \( \LaTeX \), y también he corregido algo la ortografía. Por favor utiliza \( \LaTeX \) para escribir matemáticas en tu próximo post, tienes un enlace donde se explica cómo hacerlo
aquí.
Respecto a tu pregunta: no me queda muy claro el enunciado, ¿tienes que demostrar que \( n!> 2^{n-1}n \) para todo natural mayor o igual a \( 3 \)? Asumo que es así. Has demostrado el caso para \( n=3 \), ok. Ahora, asumimos la hipótesis inductiva, es decir, asumimos que \( n!> 2^{n-1}n \) para un \( n\geqslant 3 \) indefinido, a partir de eso tienes que demostrar que \( (n+1)!>2^n(n+1) \), entonces
\( \displaystyle{
(n+1)!>2^{n}(n+1)\iff (n+1)\cdot n!>2^{n-1}\cdot 2\cdot (n+1)\iff n!>2^{n-1}\cdot 2
} \)
Ahora observa que \( 2^{n-1}n\geqslant 2^{n-1}\cdot 2 \) cuando \( n\geqslant 3 \), por tanto de la hipótesis inductiva se sigue que la última desigualdad en (1) es cierta, lo que demuestra que \( n!> 2^{n-1}n \) para todo \( n\geqslant 3 \).\( \Box \)
Corrección: el caso base \( n=3 \) no se sostiene ya que \( 3!>2^{3-1}\cdot 3=12 \) es falso. Sin embargo se sostiene para \( n=5 \), de lo que se sigue de lo de arriba que \( n!>2^{n-1}n \) es cierto para todo \( n\geqslant 5 \).
