Autor Tema: integral de superficie - campo escalar

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06 Noviembre, 2020, 11:38 pm
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weimar

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Calcular $$\int \int_{S}(y^2+z^2)dS$$ donde $$S$$ es la frontera del solido determinado por $$x^2+y^2+z^2  \leq{1} $$ y $$z \geq{ \sqrt{x^2+y^2}}$$

Bueno use la parametrizacion en esfericas $$ \varphi(\theta , \phi)= (\cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi), \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi/4]$$   pues la inteseccion es el el plano $$z=\frac{1}{\sqrt{2}}$$  sustituyendo en la integral

$$I= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} (\sin^2 \theta \sin^3 \phi +\sin \phi \cos^2\phi) d \phi d \theta = \pi(\frac{4}{3}-\frac{7}{6\sqrt{2}})$$

pero en la respuesta dice: $$\pi(\frac{4}{3}-\frac{19\sqrt{2}}{48})$$ onde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:

07 Noviembre, 2020, 01:04 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

No he hecho las cuentas, es decir no he hecho la integración, pero la integral I es correcta respecto al integrando y los límites. El error esta en que a esa integral I hay que sumarle un integral II, que se corresponde con el integral de la superficie \( S_2=\left\{{(x,y,z) \ \ / \ \ z=\sqrt[ ]{x^2+y^2}}\right\} \)  la cual  es la frontera inferior del sólido, la primera es la frontera superior incluida por la superficie esférica.
Una forma es parametrizarla utilizando cilíndricas \( S_2=\left\{{(rcos \theta,rsen \theta, \sqrt[ ]{r^2cos^2 \theta+r^2 sen^2 \theta}=r)}\right\} \)

Saludos

07 Noviembre, 2020, 01:50 am
Respuesta #2

weimar

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Hola , hize la integral $$II= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{2}(r^3\sin^2 \theta +r^3)dr d \theta = \frac{3\pi \sqrt{2}}{16}$$
sume y ahora salio, estaba confundiendo con la interseccion. Muy agradecido.