Hola
No he hecho las cuentas, es decir no he hecho la integración, pero la integral I es correcta respecto al integrando y los límites. El error esta en que a esa integral I hay que sumarle un integral II, que se corresponde con el integral de la superficie \( S_2=\left\{{(x,y,z) \ \ / \ \ z=\sqrt[ ]{x^2+y^2}}\right\} \) la cual es la frontera inferior del sólido, la primera es la frontera superior incluida por la superficie esférica.
Una forma es parametrizarla utilizando cilíndricas \( S_2=\left\{{(rcos \theta,rsen \theta, \sqrt[ ]{r^2cos^2 \theta+r^2 sen^2 \theta}=r)}\right\} \)
Saludos