Autor Tema: Puntos de aglomeración.

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06 Noviembre, 2020, 12:14 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Estaba buscando una sucesión no trivial con tantos puntos de aglomeración como quisiera.

Aviso para navegantes: No sigas leyendo, no ha sido uno de mis mayores logros.
He dado con \( a_n=\dfrac{1}{m}\large{\displaystyle\sum_{k=1}^m (-1)^{paridad(signo(mod(n,2^k)-2^{k-1}))}}  \)

Donde la función paridad la defino como \( f(x)=\begin{cases}id(x) & \text{si} & x\in \{-1,0\}\\ 0 & \text{si} & x=1\end{cases}\)

y \( m \) es el número de puntos de aglomeración menos uno.

Para que aparezcan todos los puntos de aglomeración al menos una vez, el número de elementos de la sucesión debe ser al menos \(2^m\).

Por ejemplo, para \(m=1\) (dos puntos de aglomeración), la sucesión coincide con \( (-1)^{n+1}\)

Para \(m=9\) (diez puntos de aglomeración), la gráfica de la sucesión es:



Código: (Matlab) [Seleccionar]
function [b]=bobby_107(n,m)

g=@(n,k)(-1)^(paridad(sign(mod(n,2^k)-2^(k-1))));
v=zeros(1,n);
for z=1:n
    S=0;
    for k=1:m
        S=S+g(z-1,k);
    end
    v(z)=S/m; % Puedo dividir entre m para (0,1)
end
close all, figure(1), hold on
plot(1:n,v,'b.','MarkerSize',5)
b=v';

    function [f]=paridad(u)
        if u==-1
            f=-1;
        elseif u==0
            f=0;
        elseif u==1
            f=0;
        end
    end
end


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06 Noviembre, 2020, 12:47 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Estaba buscando una sucesión no trivial con tantos puntos de aglomeración como quisiera.

Asumo que "punto de aglomeración" es lo mismo que punto de acumulación. Una forma de hacer lo que quieres es, si el número de puntos de acumulación es contable, buscar dentro del conjunto índice, es decir de \( \mathbb{N} \), un número contable adecuado de sucesiones disjuntas, entonces luego hacemos que cada subsucesión converja a un punto distinto.

Por ejemplo: las subsucesiones del tipo \( p,p^2,\ldots ,p^k,\ldots  \) para \( p \) primo son todas disjuntas entre sí y hay un número infinito contable de ellas, entonces si el número de puntos de acumulación es contable siempre se puede utilizar una subcolección de la colección de subsucesiones de potencias de primos para hacer que la sucesión final resultante tenga los puntos de acumulación que queramos.

Pero se puede llegar más lejos: se puede demostrar la existencia de una sucesión cuyo conjunto de puntos de acumulación es incontable, por ejemplo, si tenemos una biyección \( h:\mathbb{N}\to \mathbb{Q} \) entonces \( h \) define una sucesión de la forma \( x_n:=h(n) \). Como para cada número real hay una sucesión (no eventualmente constante) de racionales que converge a él es fácil de concluir que el conjunto de puntos de acumulación de tal sucesión es todo \( \mathbb{R} \).

En general: si tenemos un conjunto \( A\subset \mathbb{R} \) entonces se puede demostrar (mirar por ejemplo [1] y [2]) que existe un conjunto contable \( B\subset A \) tal que la clausura de \( B \) es igual a la clausura de \( A \), o dicho de otro modo, que \( B \) es denso en \( A \). Como \( B \) es contable entonces existe una sobreyección \( h:\mathbb{N}\to B \), y resulta que la sucesión dada por \( x_n:=h(n) \) tiene de puntos de acumulación a \( A\setminus C \), donde \( C \) es el conjunto de puntos aislados de \( A \). Si queremos que sea \( A \) en vez de \( A\setminus C \) el conjunto de puntos de acumulación entonces bastaría añadir para cada punto de \( C \) una sucesión (eventualmente no constante) que converja a tal punto, lo cual definiría un nuevo conjunto \( A \). Como a lo sumo hay un número contable de puntos aislados entonces el nuevo \( B \) seguiría siendo contable.

Un ejemplo concreto donde una sucesión tenga un número incontable de puntos de acumulación es la sucesión definida por \( x_n:=\sin(n) \), la cual se puede demostrar que sus puntos son un conjunto denso en \( [-1,1] \), por tanto sus puntos de acumulación son el propio intervalo \( [-1,1] \).

Corregido.

06 Noviembre, 2020, 02:23 am
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Gracias Masa, lo sigo leyendo mañana.

Saludos.