[sedeort]

Hola. Un problema que me ha surgido y que me está creando un dilema.

Sea una varilla delgada de masa M y longitud L, inicialmente en reposo y sin fuerzas externas sobre ella (ingravidez).
Una bala de masa m y velocidad v choca perpendicularmente sobre uno de sus extremos.
Calcula las características del movimiento tras el impacto, suponiendo:
a) choque totalmente inelástico (la bala queda unida a la varilla)
b) choque perfectamente elástico (la bala rebota conservándose la energía)

Datos numéricos
masa bala, 10 g
velocidad inicial bala, 100 m/s
Masa varilla, 1 kg
Longitud varilla, 1 m


Mi dilema es que, por un lado, creo que no debe haber rotación ya que veo una sola fuerza sobre la varilla en el momento del choque (y no el par de fuerzas necesario para una rotación). En cambio, la intuición en la experiencia me dice que sí debe haber rotación en torno al CDM (aparte de una traslación del CDM, claro).
Gira o no gira la varilla?

[Richard R Richard]

Si, gira la varilla siempre y cuando no impacte en dirección al cm.
se conserva el momento angular.
El momento angular previo al choque es el momento lineal por la distancia de desde la bala al cm del conjunto.

[sedeort]

Sí, Richard, ya me había dado cuenta que la clave para explicar la existencia de rotación es la conservación del momento angular.
Parece ser que no es obligatorio un par de fuerzas para que se produzca rotacion.

Pero antes de pasar a resolver el problema inicial en sí, quisiera plantear otra cuestión.
Si en vez de ser una bala golpeando el extremo se hubiese tratado de una fuerza externa, F, (por ejemplo un hilo atado al extremo y que tira de él perpendicularmente); se produce entonces rotación o ya sólo es traslación pura de la varilla?
Yo creo ya no habría rotación. Verdad?

[Richard R Richard]

Si la fuerza externa no pasa por el cm del sistema habrá siempre traslación y rotación,  no importa el origen de la fuerza.

[ciberalfil]

Si la dirección del movimiento de la bala (o la dirección de aplicación de la fuerza exterior) no pasa por el cdm de la varilla siempre se produce rotación. Lee lo que te dice Richard.

Siempre, no hay excepciones. Ahora bien una cosa es observar el movimiento y otra es plantear las ecuaciones que lo describen.

[Richard R Richard]

A) no estoy totalmente seguro ,pero yo plantearia

Conservación del movimiento lineal

Si m es la masa de la bala y M de la barra

\( mv_i=(m+M)V_{cm} \)

La velocidad del cm es

\( V_{cm}=\dfrac{mv_i}{m+M} \)

 Y la posición del cm en el momento del impacto

\( R_{cm}=\dfrac{ML}{2(m+M)} \)

La conservación del momento angular

\( \cancel{mv_iR_{cm}=\frac 12 I_{cmT}\omega^2} \)




\( mv_iR_{cm}= I_{cmT}\omega \)
\( I_{cmT}=\frac1{12}ML^2+\frac 14mL^2+(m+M)(\frac L2-R_{cm})^2 \)



B)conservación del momento angular
\( mv_i=mv_f+Mv_b+M\omega\frac L2 \)
Conservación de la energía
\( \frac12mv_i^2=\frac12mv_f^2+\frac12Mv_b^2+\frac12I_{cmb}\omega^2 \)
Además
\( V_{cm}=\dfrac{mv_i}{m+M}=\dfrac{Mv_b+mv_f}{m+M} \)

[sedeort]

Tan sólo poner una* de las razones de porqué creía que la varilla no giraba cuando se le aplicaba un sola F sobre un extremo.
(Otra razón es que creía obligatoria la presencia de un par de fuerzas aplicadas en puntos diferentes para producir rotación en un cuerpo)

* Aplicando la ecuación de la dinámica de traslación al caso en cuestión obtenemos la misma aceleración lineal que la que se obtiene si F estuviese aplicada al CDM, no?
Y aparte, aplicando la ecuación de la dinámica de rotación obtendríamos una aceleración angular adicional.
Osea que con la misma intensidad en la fuerza, si está aplicada a un extremo obtenemos un extra de energía, toda la rotacional. Me resultaba extraño, parecía ser como si la energía se creara "gratuitamente", jeje y no se cumpliera el principio de conservación.

(Explicación: y es que el punto de aplicación de F se está desplazando más rápido en el primer caso por eso su trabajo realizado también debe ser mayor. Digo yo ... )

[sedeort]

Y en cuanto a la resolución del caso CHOQUE INELÁSTICO (apartado a):

Tras el impacto la bala queda unida al extremo y el CDM del conjunto inicia un MRU a la vez que el sistema rota uniformemente en torno a él.
Tenemos 2 incógnitas (\( V_{cm} \) ,\( \omega \))  y dos ecuaciones (conservación del momento lineal y angular):

\( mv_i=(m+M)V_{cm} \)

\( R_{cm}mv_i=I_{cm}\omega \)

Richard, creo que tienes mal el segundo miembro en tu ecuación de conservación del momento angular.
\( R_{cm} \)  es la distancia entre el CDM del conjunto bala-varilla y el extremo donde queda pegada la bala.
\( R_{cm}=\dfrac{M}{2(M+m)}L \)
\( I_{cm} \)  es  el momento de inercia de la varilla con la bala pegada en un extremo y girando en torno al CDM del sistema. Se puede separar en tres sumandos simples: los correspondientes al de la bala y a los de los "trozos" corto y largo de la varilla (y que contienen un coeficiente 1/3). La expresión que a mí me sale creo que es diferente a la de Richard:
\( I_{cm}=mR_{cm}^2 +\frac 13\frac{M}{L}R_{cm}^3+\frac 13\frac{M}{L}(L-R_{cm})^3    \)

En definitiva, resolviendo y sustituyendo los datos numéricos que di en el primer mensaje me sale :

Choque inelástico
Rcm = 0'495050 m
Icm = 0'0883083 UI
Vcm = 0'990099 m/s
w = 5'60592 rad/s
Energía perdida = 96'23 % (sorprendentemente alta)

[sedeort]

Y tras un CHOQUE ELÁSTICO la bala rebota en sentido contrario mientras que la varilla gira uniformente a la vez que su CDM avanza a velocidad constante.

Tenemos tres incógnitas (\( v_f, V_v,\omega \)) y tres ecuaciones (conservación del momento lineal, del momento angular y de la energía):

\( mv_i=MV_{v}-mv_f \)

\( \frac{L}{2}mv_i=I_{v}\omega-\frac{L}{2}mv_f  \)

\( \frac12mv_i^2 = \frac12mv_f^2  +   \frac12MV_v^2  + \frac12I_v\omega^2 \)

El momento de inercia de la varilla girando en torno a su CDM es:
\( I_v=\frac{1}{12}ML^2 \)


Resolviendo el sistema y sustituyendo los datos a mí me sale:
Choque elástico
Vf = 92'31 m/s
Vv = 1'923 m/s
w = 11'54 rad/s

Como curiosidad pongo un par de relaciones generales sorprendentemente sencillas que me salen de operar con las tres ecuaciones de arriba (espero que sean correctas):
Vi - Vf = 4•Vv
w•L = 6•Vv
La primera ecuación nos dice que la velocidad de traslación de la varilla será siempre la cuarta parte de la pérdida de rapidez de la bala.
La segunda ecuación nos está indicando que, en cualquier caso,  los puntos de la varilla distanciados del CDM la sexta parte de su longitud siempre se moverán como en "rodadura pura".