[sofia]

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+}{\displaystyle\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x^2}}{5x}}*\displaystyle\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x^2}}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x^2}} \)


\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+}\displaystyle\frac{-x-x^2}{5x*(\sqrt[ ]{2-x)}+(\sqrt{2+x^2})} \)

[delmar]

Hola

La función dada es un cociente de dos funciones la del denominador es continua en 2, la del numerador es continua para \( x\leq{2} \) para valores de \( x>2 \) no esta definida; para que el numerador tome un valor \( 2-x \geq{0} \), en consecuencia, no se puede acercar por la derecha a 2 no hay límite por la derecha.


Saludos

[Bobby Fischer]

Hola,

El límite cuando \( x\to 2^+ \) no tiene sentido porque \( 2-x \) sería negativo y no existe \(\sqrt{2-x}\).

El límite cuando \( x\to 2^- \) sí tiene sentido y vale \(-\dfrac{\sqrt{6}}{10}\). Esto sale de sustituir directamente "\(2\)" en la función a la que se calcula el límite, puesto que es álgebra y composición de funciones continuas.

Lo que has utilizado aquí:

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}2}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}-\sqrt[ ]{2+x^2}}{5x}}*\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}}{\sqrt[ ]{2-x}+\sqrt[ ]{2+x^2}} \)


\( \displaystyle\lim_{x \to{+}2}\displaystyle\frac{-x-x^2}{5x*(\sqrt[ ]{2-x)}+(\sqrt[ ]{2+x^2})} \)

no hace falta, pues se puede calcular el límite directamente sustituyendo.

Eso sirve para quitar raíces, pero no es lo que hay que aplicar aquí.

Saludos.

[sofia]

Hola

La función dada es un cociente de dos funciones la del denominador es continua en 2, la del numerador es continua para \( x\leq{2} \) para valores de \( x>2 \) no esta definida; para que el numerador tome un valor \( 2-x \geq{0} \), en consecuencia, no se puede acercar por la derecha a 2 no hay límite por la derecha.


Saludos

Si no hay limite por derecha, por lo tanto¿ no existe continuidad en x=2?

[ciberalfil]

Pues claro que no. Intenta dibujar la función a la derecha de 2 y verás que es imposible. La función queda interrumpida en ese punto precisamente. A la izquierda de 2 existe y es continua, pero para \( x>2 \) la función no existe.

Salu2

[Bobby Fischer]

Si no hay limite por derecha, por lo tanto¿ no existe continuidad en x=2?

Una función \(f\) es continua en \( a\) por definición si \( f(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\).

\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe si y sólo si existen los límites laterales y son iguales.

En tal caso: \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)\)

Entonces \(f \) es continua en \( a\) si y sólo si \( f(a)=\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)\)

En tu caso, no existe \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)\), por lo que \(f\) no puede ser continua en \(x=2\)

[Juan Pablo Sancho]

Cuidado Bobby Fischer la continuidad depende del dominio si tenemos \(  f(x) = x^2  \) en el conjunto \( [0,1] \cup \{3\}  \) la función es continua en \( 3 \) aplicando la definición de continuidad.
Debes buscar la continuidad de \( f \) en su dominio.
Editado
Entonces la función es continua en \( x = 2 \)

[Bobby Fischer]

Creo que se solucionaría con añadir:

Sea \(f\) una función definida en un dominio \(D\) y sea \(a \in D\). Entonces, \(f\) es continua en \(a\) si blablabla.

[Juan Pablo Sancho]

Pero esto esta implícito en su definición, toda función está definida en su dominio.
Si tienes la función \( g(3) = 5  \) y su dominio es \( \{3\}  \) es continua en \( x = 3 \).
Entonces la función que propone Sofía no tiene límite lateral por la derecha pero es continua.

[Bobby Fischer]

[...] la función que propone Sofía no tiene límite lateral por la derecha pero es continua.

¡Es verdad! 

¡El dominio de la función!

Spoiler

https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/58-Capitulo2.html

[cerrar]