[S@lvador]

Hola amigos tengo el siguiente problema
Un borracho millonario juega con una pistola en un aeroplano en pleno vuelo directamente hacia el este a \( 500 km\cdot h^{-1} \) . El borracho dispara la pistola directamente hacia arriba, desde techo del aeroplano. La bala sale de la pistola con una velocidad de \( 1000 km\cdot h^{-1} \) De acuerdo con alguien que se encuentra de pie sobre la Tierra. ¿Qué ángulo forma la bala respecto a la vertical?

Matemáticamente me parece sencillo de resolver:
Sean
Velocidad del avión= \( V_{a} \)
Velocidad de la bala=\(  V_{b} \)

\( tan(\alpha)=\frac{V_b}{V_{a}}=\frac{1000km\cdot h^{-1}}{500km\cdot h^{-1}}=2 \)
\( \alpha= tan^{-1}(2)= 63.4349 \)
Sea \( \beta \) el angulo respecto a la vertical
\( \beta= 90°-63.4349= 26.5652 \)

Pero en cuanto a física no estoy muy seguro:
¿Me podrían explicar por qué la función tangente de \( \frac{V_b}{V_{a}} \) es la tangente del ángulo que mide un observador en reposo?, se que tiene que ver que la velocidad es un vector y cumple con el principio de superposición pero no logro comprenderlo claramente

Tampoco entiendo cómo es posible medir cosas que pasan en un avión desde la tierra, o sea como pasar de un sistema de referencia a otro.

[Masacroso]

Según como yo lo veo la bala tiene una velocidad con una componente horizontal de 500 y una vertical de 1000, por tanto el ángulo de desplazamiento sería el ángulo definido entre los vectores \( v:=(500,1000) \) y \( w:=(0,1) \) (el último un vector vertical de módulo arbitrario, por simplicidad un módulo unitario). De ahí tenemos que

\( \displaystyle{
\cos \alpha =\frac{v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}=\frac{1000}{\sqrt{500^2+1000^2}}\implies \alpha =\arccos (\sqrt{4/5})\approx 26,57º
} \)

según WolframAlpha, que coincide con tu resultado (por lo que asumo debe estar bien hecho ).

[delmar]

Hola

Es correcto el razonamiento de ambos y la respuesta también. En física una forma de desarrollar :

Se considerar una referencia xy solidaria al areoplano, eje x paralelo al piso con la dirección positiva hacia el este, eje y perpendicular al piso dirección positiva hacia arriba. Se considera una referencia inercial (solidaria a tierrra al piso) XY paralela a la referencia xy móvil. En esas circunstancias el vector posición del proyectil respecto a tierra \( \vec{r_p} \) se relaciona con su vector de posición relativo al areoplano \( \vec{r_{p/a}} \) de la siguiente manera :

\( \vec{r_{p/a}}=\vec{r_p}-\vec{r_{a}} \) donde \( \vec{r_a} \) es el vector posición del areoplano respecto a tierra. Derivando respecto al tiempo, todas esas funciones vectoriales son funciones del tiempo, se tiene :

\( \vec{v_{p/a}}=\vec{v_p}-\vec{v_a}\Rightarrow{\vec{v_p}=\vec{v_a}+\vec{v_{p/a}}} \)

Considerando que :

\( \vec{v_{p/a}}=1000\vec{j} \)

\( \vec{v_a}=500\vec{i} \) se tiene la respuesta, es conveniente hacer esquemas de las referencias, a tierra y al aeroplano.

Saludos

[ciberalfil]

Bueno, se puede razonar mucho con sistemas de referencia y tal, pero es un problema que resuelto en mecánica clásica es muy sencillo. La ley de composición de velocidades en mecánica clásica establece que:

\( v_t=v_1+v_2 \)

y por lo tanto en el sistema fijo (la tierra) se tiene que:

\( v_t=(500i+1000k) \)

que es un vector que presenta un ángulo con la horizontal de:

\( Tan(\alpha)=\displaystyle\frac{1000}{500}=2\qquad\Rightarrow{}\qquad Cos(\alpha)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{1+2^2}}=\sqrt[ ]{5}/5=0,4472\qquad\Rightarrow{}\qquad\alpha=63,435^{\circ{}} \)

El ángulo con la vertical es su complemento:

\( \beta=90^{\circ{}}-63,435^{\circ{}}=26,565^{\circ{}} \)

[Richard R Richard]

. ¿Qué ángulo forma la bala respecto a la vertical?

No les da comezón en las ....manos ... A los que escriben estos enunciados?




Todos han respondido a

. ¿Qué ángulo forma la velocidad de la bala respecto a la vertical?

Que otra cosa se podría preguntar , más que por la composición de  velocidades .... Pero literalmente se pregunta otra cosa, con otra respuesta.

[ciberalfil]

Parece que te haces preguntas que sobrepasan tu capacidad para entender las respuestas. No digo que no puedas entender como se trabaja con sistemas de referencia, digo que aún es pronto para que se te pueda contestar. Trabajar con sistemas de referencia no es difícil, pero hay que tener un poco de paciencia que todo llegará. De momento quédate con que la velocidad con que se ve desde la tierra moverse la bala es la suma vectorial de la velocidad del avión respecto de la tierra más la velocidad de la bala respecto al avión, que son los datos que da el enunciado de tu problema. Piensa lo siguiente. En todo momento la posición de la bala respecto al observador terrestre es un vector, \( \mathbf{r_b} \), que puede descomponerse en suma de dos:

\( \mathbf{r_b=r_a+r_{ba}} \)

que son el vector de posición del avión respecto del observador terrestre y el vector de posición de la bala respecto del avión. Como  en mecánica clásica se acepta que el tiempo es independiente del observador y transcurre de igual forma para todos ellos entonces podemos derivar respecto del tiempo la anterior ecuación para llegar a que:

\( \displaystyle\mathbf{\frac{dr_b}{dt}=\frac{dr_a}{dt}+\displaystyle\frac{dr_{ba}}{dt}}\qquad\Rightarrow{}\qquad\mathbf{v_b=v_a+v_{ba}} \)

que establece la ecuación que hemos usado antes. La velocidad de la bala respecto del observador terrestre es la suma de las velocidades respectivas del avión respecto del observador terrestre y de la bala respecto del avión. ¿Lo pillaste?

Este sencillo análisis puede complicarse mucho haciendo que la referencia móvil, la del avión, se mueva de forma mucho más complicada, con aceleración lineal e incluso presentando rotación instantánea y también considerar que la tierra gira sobre sí misma, lo que conduce a estudios muy interesantes pero complicados para tu nivel. Ya te llegará la oportunidad. Paciencia.

Salu2.

[Richard R Richard]

¿Me podrían explicar por qué la función tangente de \( \frac{V_b}{V_{a}} \) es la tangente del ángulo que mide un observador en reposo?,

 Aver si puedo hacer que lo deduzcas,pongamos otro ejemplo.


1)si lanzas una pelota al aire estando en reposo en el piso , veras que asciende y desciende en el mismo lugar, la misma coordenada x.


2)si vas en bici , lanzas la misma bola con una mano, verás que vuelve a caer sobre ella, la atrapas con cierta facilidad despreciando todos los efectos resistivos del viento. Para un sistema de referencia en la bicicleta , el movimiento de la bola es comparable, al que viste anteriormente.


Pero que dira alguien que esta en la calle en reposo,  para el primer caso,  verá la bola subir y bajar en la misma posición tal cual tu lo viste.


Pero en el segundo que pasa, tu vas a un velocidad distinta de cero en la dirección x , y durante el tiempo que la bola asciende y desciende tu habras avanzado una distancia \( \Delta x=v\Delta t \) luego la persona no vera la bol moverse en una línea recta en ascenso y descenso sin a una parábola.


como se explica esto  en la dirección \( y \)  la bola sigue en ambos casos la ecuación \( h=v_lt-\frac 12 gt^2 \)
pero hay una diferencia, en el primero la posición x es una constante, pero en el segundo la posición es variable   \( x=x_o+v\Delta t \)


como son las dos situaciones compatible, pues bien aunque no lo notes , cuando vas en la bici, la bla ya tenia velocidad, justamente la que le imprimes con la bici, que sería la velocidad de tu marco de referencia respecto del suelo.


ahora puedes ver que el segundo observador, describe el movimiento de la bola como la suma de los movimientos del marco de referencia, y del movimiento imprimido a la bola


Ahora bien,  esta suma de velocidades es una suma vectorial, el resultado o resultante de esta suma , es la suma de las componentes  en cada eje coordenado


si \(
\vec v_{avion}=(500,0)
 \)
y  \(
\vec v_{bala}=(0,1000) \)


la suma de velocidades , es la suma de la velocidad del objeto en un marco de referencia, mas la velocidad de ese marco de referencia.


\( \vec v=\vec v_{avion}+\vec v_{bala}=(500,0)+(0,1000)=(500,1000) \)


para calcular el modulo de la velocidad hacemos \(
v=\sqrt{v_{avion}^2+v_{bala}^2}=500\sqrt 5
 \)
si quieres ve el ángulo con que se eleva , puedes ver que \( \sin\alpha= \dfrac{v_{bala}}{\sqrt{v_{avion}^2+v_{bala}^2}} \)


y que la velocidad en x de la bala se conserva  \( \cos\alpha= \dfrac{v_{avion}}{\sqrt{v_{avion}^2+v_{bala}^2}} \)


si divides ambas expresiones


\(  \tan \alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{v_{bala}}{\sqrt{v_{avion}^2+v_{bala}^2}}}{\dfrac{v_{avion}}{\sqrt{v_{avion}^2+v_{bala}^2}}}=\dfrac{v_{bala}}{v_{avion}}=2 \)